Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AO, dây cung MN
Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AO, dây cung MN vuông góc với AO tại H (Học sinh có thể tham khảo hình vẽ dưới đây và phải vẽ hình vào bài làm)
1) Chứng minh $MA = MO$ và $\Delta AMO$ đều.
2) Trên tia OA lấy điểm C sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OC. Qua C vẽ đường thẳng cắt đoạn thẳng MH tại K (K khác hai điểm M và H), cắt đường tròn đã cho tại hai điểm E, F (E nằm giữa C và F). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh tứ giác $CMIO$ nội tiếp và $CM^{2} = CI.CK$
Quảng cáo
1) Chứng minh $OM = OA = MA$
Suy ra $\Delta OMA$ đều
2) Chứng minh $\Delta CHK \sim \Delta CIO\left( {g.g} \right)$. Khi đó $\dfrac{CH}{CI} = \dfrac{CK}{CO}$ hay $CH.CO = CI.CK$ (1)
Tương tự $\Delta CMH \sim \Delta COM$ (do $\angle OCM$ chung và $\angle CHM = \angle CMO = 90^{0}$)
Nên $\dfrac{CM}{CO} = \dfrac{CH}{CM}$ hay $CM^{2} = CH.CO$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $CM^{2} = CK.CI$
1) Xét $\Delta MAO$ có MH vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên $\Delta MAO$ cân tại M
Suy ra $MA = MO$ (tính chất tam giác cân)
Do $OM = OA$ (cùng bằng bán kính của $(O)$) mà $MA = MO$ nên $OM = OA = MA$
Suy ra $\Delta OMA$ đều
2) Do A là trung điểm của OC nên $AC = AO$
Mà $AO = AM$ (do $\Delta OMA$ đều) nên $AO = AC = AM$
Suy ra C, O, M thuộc đường tròn đường kính OC
Lại có $\Delta OEF$ cân tại O (do $OE = OF$ là bán kính của $(O)$) có OI là trung tuyến nên OI đồng thời là đường cao. Suy ra $\Delta OIC$ vuông tại I nên O, I, C thuộc đường tròn đường kính OC
Vậy O, I, M, C đường tròn đường kính OC hay tứ giác CMIO nội tiếp
Xét $\Delta CHK$ và $\Delta CIO$ có $\angle OCI$ chung và $\angle CHK = \angle CIO\left( {= 90^{0}} \right)$
Nên $\Delta CHK \sim \Delta CIO\left( {g.g} \right)$. Khi đó $\dfrac{CH}{CI} = \dfrac{CK}{CO}$ hay $CH.CO = CI.CK$ (1)
Tương tự $\Delta CMH \sim \Delta COM$ (do $\angle OCM$ chung và $\angle CHM = \angle CMO = 90^{0}$)
Nên $\dfrac{CM}{CO} = \dfrac{CH}{CM}$ hay $CM^{2} = CH.CO$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $CM^{2} = CK.CI$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
