Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng $\dfrac{a + 2}{{(a + 1)}^{2}}

Câu hỏi số 798351:

Vận dụng

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 3$.

Chứng minh rằng $\dfrac{a + 2}{{(a + 1)}^{2}} + \dfrac{b + 2}{{(b + 1)}^{2}} + \dfrac{c + 2}{{(c + 1)}^{2}} \geq \dfrac{9}{4}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798351

Phương pháp giải

Đặt $A = \dfrac{a + 2}{{(a + 1)}^{2}} + \dfrac{b + 2}{{(b + 1)}^{2}} + \dfrac{c + 2}{{(c + 1)}^{2}}$

Giải chi tiết

Đặt $A = \dfrac{a + 2}{{(a + 1)}^{2}} + \dfrac{b + 2}{{(b + 1)}^{2}} + \dfrac{c + 2}{{(c + 1)}^{2}}$

$= \underset{B}{\underset{︸}{\left( {\dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{c + 1}} \right)}} + \underset{C}{\underset{︸}{\left\lbrack {\dfrac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \dfrac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \dfrac{1}{{(c + 1)}^{2}}} \right\rbrack}}$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \geq \dfrac{9}{x + y + z}$, ta có $B = \dfrac{1}{a + 1} + \dfrac{1}{b + 1} + \dfrac{1}{c + 1} \geq \dfrac{9}{a + b + c + 3} = \dfrac{3}{2}$ (2)
Áp dụng bất đẳng thức $x^{2} + 1 \geq \dfrac{{(x + 1)}^{2}}{2}$, ta có $C = \dfrac{1}{{(a + 1)}^{2}} + \dfrac{1}{{(b + 1)}^{2}} + \dfrac{1}{{(c + 1)}^{2}} \geq \dfrac{1}{2}\left\lbrack {\dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1} + \dfrac{1}{c^{2} + 1}} \right\rbrack$
Suy ra $2C \geq \dfrac{1}{a^{2} + 1} + \dfrac{1}{b^{2} + 1} + \dfrac{1}{c^{2} + 1}$

$\left. \Leftrightarrow 3 - 2C \leq \dfrac{a^{2}}{a^{2} + 1} + \dfrac{b^{2}}{b^{2} + 1} + \dfrac{c^{2}}{c^{2} + 1} \leq \dfrac{a^{2}}{2a} + \dfrac{b^{2}}{2b} + \dfrac{c^{2}}{2c} = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{3}{2} \right.$

$\left. \Rightarrow C \geq \dfrac{3}{4} \right.$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $A \geq B + C \geq \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}$
Dấu $" = "$ xảy ra $\left. \Leftrightarrow a = b = c = 1 \right.$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link