Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{{(a + b)}^{2} + 4a}{ab}$ là số nguyên. Biết $b$

Câu hỏi số 798350:

Vận dụng

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{{(a + b)}^{2} + 4a}{ab}$ là số nguyên. Biết $b$ là số lẻ. Chứng minh rằng $a$ là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798350

Phương pháp giải

Gọi $\text{gcd}\left( {a,b} \right) = d\left( {d \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}} \right)$ và $d$ lẻ (vì $b$ lẻ)
Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {a = dx} \\ {b = dy} \end{array}\left( {x,y \in {\mathbb{N}}^{\text{*}},\text{gcd}\left( {x,y} \right) = 1} \right)} \right.$

Giải chi tiết

Vì $\ \dfrac{{(a + b)}^{2} + 4a}{ab} = \dfrac{{(dx + dy)}^{2} + 4dx}{d^{2}xy} \in {\mathbb{Z}}$ nên $d^{2}xy \mid \left\lbrack {d^{2}{(x + y)}^{2} + 4dx} \right\rbrack$

Suy ra $dxy\left| \left\lbrack {d\left( {x^{2} + 2xy + y^{2}} \right) + 4x} \right\rbrack\Rightarrow dxy \right|\left\lbrack {d\left( {x^{2} + y^{2}} \right) + 4x} \right\rbrack$
Từ đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x \mid dy^{2}} \\ {d \mid 4x} \end{array} \right.$, kết hợp các điều kiện $\left( {x,y} \right) = 1$ và $d$ lẻ thì ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x \mid d} \\ {d \mid x} \end{array}\Rightarrow x = d\Rightarrow a = x^{2} \right.$
Do đó $a$ là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link