Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{{(a + b)}^{2} + 4a}{ab}$ là số nguyên. Biết $b$

Câu hỏi số 798350:

Vận dụng

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{{(a + b)}^{2} + 4a}{ab}$ là số nguyên. Biết $b$ là số lẻ. Chứng minh rằng $a$ là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798350

Phương pháp giải

Gọi $\text{gcd}\left( {a,b} \right) = d\left( {d \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}} \right)$ và $d$ lẻ (vì $b$ lẻ)
Đặt $\left\{ {\begin{array}{l} {a = dx} \\ {b = dy} \end{array}\left( {x,y \in {\mathbb{N}}^{\text{*}},\text{gcd}\left( {x,y} \right) = 1} \right)} \right.$

Giải chi tiết

Vì $\ \dfrac{{(a + b)}^{2} + 4a}{ab} = \dfrac{{(dx + dy)}^{2} + 4dx}{d^{2}xy} \in {\mathbb{Z}}$ nên $d^{2}xy \mid \left\lbrack {d^{2}{(x + y)}^{2} + 4dx} \right\rbrack$

Suy ra $dxy\left| \left\lbrack {d\left( {x^{2} + 2xy + y^{2}} \right) + 4x} \right\rbrack\Rightarrow dxy \right|\left\lbrack {d\left( {x^{2} + y^{2}} \right) + 4x} \right\rbrack$
Từ đó, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x \mid dy^{2}} \\ {d \mid 4x} \end{array} \right.$, kết hợp các điều kiện $\left( {x,y} \right) = 1$ và $d$ lẻ thì ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x \mid d} \\ {d \mid x} \end{array}\Rightarrow x = d\Rightarrow a = x^{2} \right.$
Do đó $a$ là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link