Cho hai biểu thức $A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 4}$

Câu hỏi số 803652:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 4}$ và $B = \dfrac{x - \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 4}$, với $x \geq 0;x \neq 16$

a) Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 9$.

b) Chứng minh rằng $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$.

c) Đặt $\text{P} = \dfrac{A}{B}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803652

Phương pháp giải

a) Thay $x = 9$ (tmđk) vào biểu thức B.

b) Quy đồng và rút gọn.

c) Tính $P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 4}$

Với $x = 0$ thì $P = 0$

Với $x \neq 0$ ta có: $\dfrac{\text{1}}{P} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x}} + 3$

Giải chi tiết

a) Thay $x = 9$ (tmđk) vào biểu thức B, ta được:

$B = \dfrac{9 - \sqrt{9} + 4}{\sqrt{9} - 4} = \dfrac{9 - 3 + 4}{3 - 4} = \dfrac{10}{- 1} = - 10$

Vậy $B = - 10$ khi $x = 9$

b) ĐKXĐ: $x \geq 0;x \neq 16$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 4}$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} + \dfrac{2\left( {\sqrt{x} + 4} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} + \dfrac{x - 4\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} + \dfrac{2\sqrt{x} + 8}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8 + x - 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 8}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}$

$A = \dfrac{x + 4\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} = \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 4} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$

Vậy với $x \geq 0;x \neq 16$ thì $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$

c) ĐK: $x \geq 0;x \neq 16$

Vì $x - \sqrt{x} + 4 \neq 0$ và $x \geq 0;x \neq 16$ nên $B \neq 0$, ta có:

$\text{P} = \dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}:\dfrac{x - \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 4} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}.\dfrac{\sqrt{x} - 4}{x - \sqrt{x} + 4} = \dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 4}$

Với $x = 0$ thì $P = 0$

Với $x \neq 0$ ta có: $\dfrac{\text{1}}{P} = \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}} - 1 = \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} + 3 = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x}} + 3$

Vì $\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2} \geq 0$với mọi x nên $\dfrac{\text{1}}{P} \geq 3$với mọi x

Suy ra $P \leq \dfrac{1}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x} - 2 = 0$ hay $\sqrt{x} = 2$ hay $x = 4$ (tmđk)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\dfrac{1}{3}$ khi $x = 4$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link