Cho hai biểu thức $A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 4}$

Câu hỏi số 803652:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 4}$ và $B = \dfrac{x - \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 4}$, với $x \geq 0;x \neq 16$

a) Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 9$.

b) Chứng minh rằng $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$.

c) Đặt $\text{P} = \dfrac{A}{B}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803652

Phương pháp giải

a) Thay $x = 9$ (tmđk) vào biểu thức B.

b) Quy đồng và rút gọn.

c) Tính $P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 4}$

Với $x = 0$ thì $P = 0$

Với $x \neq 0$ ta có: $\dfrac{\text{1}}{P} = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x}} + 3$

Giải chi tiết

a) Thay $x = 9$ (tmđk) vào biểu thức B, ta được:

$B = \dfrac{9 - \sqrt{9} + 4}{\sqrt{9} - 4} = \dfrac{9 - 3 + 4}{3 - 4} = \dfrac{10}{- 1} = - 10$

Vậy $B = - 10$ khi $x = 9$

b) ĐKXĐ: $x \geq 0;x \neq 16$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 4}$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{x - 16} + \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} + \dfrac{2\left( {\sqrt{x} + 4} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} + \dfrac{x - 4\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} + \dfrac{2\sqrt{x} + 8}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}$

$A = \dfrac{6\sqrt{x} - 8 + x - 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 8}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)}$

$A = \dfrac{x + 4\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} = \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 4} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 4} \right)\left( {\sqrt{x} - 4} \right)} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$

Vậy với $x \geq 0;x \neq 16$ thì $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}$

c) ĐK: $x \geq 0;x \neq 16$

Vì $x - \sqrt{x} + 4 \neq 0$ và $x \geq 0;x \neq 16$ nên $B \neq 0$, ta có:

$\text{P} = \dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}:\dfrac{x - \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 4} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 4}.\dfrac{\sqrt{x} - 4}{x - \sqrt{x} + 4} = \dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 4}$

Với $x = 0$ thì $P = 0$

Với $x \neq 0$ ta có: $\dfrac{\text{1}}{P} = \sqrt{x} + \dfrac{4}{\sqrt{x}} - 1 = \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} + 3 = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x}} + 3$

Vì $\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2} \geq 0$với mọi x nên $\dfrac{\text{1}}{P} \geq 3$với mọi x

Suy ra $P \leq \dfrac{1}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x} - 2 = 0$ hay $\sqrt{x} = 2$ hay $x = 4$ (tmđk)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\dfrac{1}{3}$ khi $x = 4$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link