Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng 2 m. Người ta thiết kế một thùng chứa

Câu hỏi số 808928:

Vận dụng

Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng 2 m. Người ta thiết kế một thùng chứa nước có đáy là hình lục giác đều, sáu mặt bên là sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác, mỗi hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của lục giác, một cạnh bằng $x$ (mét). Sau đó người ta cắt theo nét đứt đoạn và gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối ($dm^{3}$) (làm tròn kết quả đến hàng phần muời)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:808928

Phương pháp giải

Gọi cạnh hình chữ nhật là $x\left( {x > 0} \right)$

Tính thể tích hình hộp theo x từ đó khảo sát hàm số tìm GTLN

Giải chi tiết

Xét tam giác $AMN$ vuông tại $M$, gọi một cạnh hình chữ nhật bên ngoài lục giác bằng $x$ nên $MN = x(m)$.

Vì $\Delta ABC$ đều nên $\widehat{MAN} = 30^{\circ}$. Ta có $AM = x\sqrt{3}$.

Theo cách dựng hình ta dễ thấy $NE = EF = FD$.

Khi đó $EF = \dfrac{AB - 2AM}{3} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}x}{3}$

Ta có diện tích tam giác đều $OEF$ bằng $S_{OEF} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left( \dfrac{2 - 2\sqrt{3}x}{3} \right)^{2}$

Diện tích đáy của khối lăng trụ $S = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left( \dfrac{2 - 2\sqrt{3}x}{3} \right)^{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left( {12x^{2} - 8\sqrt{3}x + 4} \right)$

Chiều cao $h$ của lăng trụ bằng cạnh của hình chữ nhật nên $h = x$

Thể tích của khối lăng trụ $V = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left( {12x^{3} - 8\sqrt{3}x^{2} + 4x} \right)$

Xét hàm số $f(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left( {12x^{3} - 8\sqrt{3}x^{2} + 4x} \right)$ $f'(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\left( {36x^{2} - 16\sqrt{3}x + 4} \right)$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có thể tích của khối lăng trụ lớn nhất $V_{\text{max~}} = \dfrac{8}{81}\left( m^{3} \right) \simeq 98,8\left( {dm^{3}} \right)$ tại $x = \dfrac{\sqrt{3}}{9}$.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.