Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \{ - 1;1\} $, thỏa mãn

Câu hỏi số 811661:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R}\backslash \{ - 1;1\} $, thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{2}{{{x^2} - 1}};$ $f( - 3) + f(3) = 2\ln 2$ và $f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 0$. Giá trị của biểu thức $P = f(-2) + f(0) + f(4)$ bằng bao nhiêu (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,97

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:811661

Phương pháp giải

Phân tích $f'(x)$ thành các phân thức đơn giản để tìm nguyên hàm.

Do tập xác định của hàm số bị chia thành 3 khoảng rời nhau nên khi lấy nguyên hàm sẽ xuất hiện 3 hằng số $C_1, C_2, C_3$ tương ứng với từng khoảng.

Sử dụng các điều kiện bài cho để tìm mối liên hệ giữa các hằng số, từ đó tính được giá trị của biểu thức cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có $f'(x) = \dfrac{2}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}$.

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được:

$f(x) = \int \left( \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} \right) dx = \ln|x-1| - \ln|x+1| + C = \ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| + C$.

Do hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus\{-1; 1\}$, tức là trên các khoảng $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ và $(1; +\infty)$, nên ta có:

$f(x) = \begin{cases} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C_1 & \text{khi } x < -1 \\ \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C_2 & \text{khi } -1 < x < 1 \\ \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C_3 & \text{khi } x > 1 \end{cases}$

Theo giả thiết $f(-3) + f(3) = 2\ln 2$:

$f(-3) = \ln\left|\frac{-3-1}{-3+1}\right| + C_1 = \ln 2 + C_1$ (vì $-3 < -1$)

$f(3) = \ln\left|\frac{3-1}{3+1}\right| + C_3 = \ln\dfrac{1}{2} + C_3 = -\ln 2 + C_3$ (vì $3 > 1$)

Suy ra: $\ln 2 + C_1 - \ln 2 + C_3 = 2\ln 2 \Leftrightarrow C_1 + C_3 = 2\ln 2$.

Theo giả thiết $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) + f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0$:

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \ln\left|\frac{-\dfrac{1}{2}-1}{-\dfrac{1}{2}+1}\right| + C_2 = \ln 3 + C_2$ (vì $-1 < -\dfrac{1}{2} < 1$)

$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \ln\left|\dfrac{\frac{1}{2}-1}{\dfrac{1}{2}+1}\right| + C_2 = \ln\dfrac{1}{3} + C_2 = -\ln 3 + C_2$ (vì $-1 < \dfrac{1}{2} < 1$)

Suy ra: $\ln 3 + C_2 - \ln 3 + C_2 = 0 \Leftrightarrow 2C_2 = 0 \Leftrightarrow C_2 = 0$.

Tính giá trị biểu thức $P = f(-2) + f(0) + f(4)$:

$f(-2) = \ln\left|\dfrac{-2-1}{-2+1}\right| + C_1 = \ln 3 + C_1$ (vì $-2 < -1$)

$f(0) = \ln\left|\dfrac{0-1}{0+1}\right| + C_2 = \ln 1 + 0 = 0$ (vì $-1 < 0 < 1$)

$f(4) = \ln\left|\dfrac{4-1}{4+1}\right| + C_3 = \ln\dfrac{3}{5} + C_3 = \ln 3 - \ln 5 + C_3$ (vì $4 > 1$)

Khi đó:

$P = \ln 3 + C_1 + 0 + \ln 3 - \ln 5 + C_3$

$P = 2\ln 3 - \ln 5 + (C_1 + C_3)$

Thay $C_1 + C_3 = 2\ln 2$ vào, ta được:

$P = 2\ln 3 - \ln 5 + 2\ln 2 = \ln(3^2) - \ln 5 + \ln(2^2) = \ln 9 - \ln 5 + \ln 4 = \ln\left(\frac{9 \cdot 4}{5}\right) = \ln(7,2)$.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có $\ln(7,2) \approx 1,97408...$

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ta được $1,97$.

Đáp án: 1,97

Đáp án cần điền là: 1,97

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.