Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,B\left( {3; - 1;2} \right),\,\,C\left( {1;2;2}

Câu hỏi số 811698:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( {1;2;0} \right),\,\,B\left( {3; - 1;2} \right),\,\,C\left( {1;2;2} \right),\,\,D\left( {3; - 1;1} \right)\) và điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} - \dfrac{1}{4}M{D^2}\)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:811698

Phương pháp giải

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0\)

Tìm toạ độ của I và tính biểu thức P theo độ dài MI, Từ đó tìm GTLN bằng cách đưa về hàm số

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0 \Rightarrow I\left( {3; - 1;1} \right) \Rightarrow I \equiv D\)

Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2;3; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {0;0;1} \right),\,\,\overrightarrow {IC} = \left( { - 2;3;1} \right) \Rightarrow I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} = 14 + 2 - 14 = 2\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} - \dfrac{1}{4}M{D^4}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} - \dfrac{1}{4}M{I^4}\\ = 2M{I^2} - \dfrac{1}{4}M{I^4} + \left( {I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}} \right)\\ = 2M{I^2} - \dfrac{1}{4}M{I^4} + 2\end{array}\)

Đặt \(M{I^2} = x \Rightarrow T = - \dfrac{1}{4}{x^2} + 2x + 2 = - \dfrac{1}{4}\left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 6 = - \dfrac{1}{4}{\left( {x - 4} \right)^2} + 6 \le 6\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 4 \Rightarrow M{I^2} = 4 \Rightarrow MI = 2\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(T\) là 6

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.