Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2020$, (tham số $m$ ). Khi đó

Câu hỏi số 812834:

Vận dụng

Cho hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2020$, (tham số $m$ ). Khi đó hãy chọn các khảng đinh đúng

a) Khi $m = 1$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$

b) Khi $m = 1$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$

c) Khi $m = 1$ thì hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty )$ bằng -4

d) Có tất cả 3 giá trị nguyên của $m$ để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty )$

Đáp án đúng là: A; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:812834

Phương pháp giải

a)b)c) Thay $m=1$, tính đạo hàm và lập bảng biến thiên tìm GTLN

d) Tính đạo hàm và tìm 2 cực trị. Xét vị trí của cực trị với 0 để từ đó tìm GTNN trên $(0; + \infty )$

Giải chi tiết

a) Đ b) S c) S d) Đ

a,b,c) $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 2020$

Với $m = 1$ta có: $y = {x^3} - 3{x^2} + 2020$

Khi đó $y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên

d) Ta có: ${y^\prime } = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = m - 1}\\{{x_2} = m + 1}\end{array}} \right.$.

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty )$ thì ${x_1} \le 0 < {x_2}$ hoặc $0 < {x_1} < {x_2}$.

TH1: ${x_1} \le 0 < {x_2} \Leftrightarrow m - 1 \le 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \le 1$. Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 0;1\} $. BBT của hàm số:

TH2: $0 < {x_1} < {x_2}$.

BBT của hàm số

Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $(0; + \infty )$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 > 0}\\{y(m + 1) \le y(0)}\end{array}} \right.$.

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{{{(m + 1)}^3} - 3m{{(m + 1)}^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)(m + 1) + 2020 \le 2020}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{{{(m + 1)}^2}(m - 2) \le 0}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le 2$

Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 2$.

Vậy $m \in \{ 0;1;2\} $.

Đáp án cần chọn là: A; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.