Cho ba số $x,y$ và $z$ dương thoả mãn $xyz = 1$.Chứng minh: $\dfrac{1}{x^{2} + 2y^{2} + 3} + \dfrac{1}{y^{2}

Câu hỏi số 825492:

Vận dụng

Cho ba số $x,y$ và $z$ dương thoả mãn $xyz = 1$.

Chứng minh: $\dfrac{1}{x^{2} + 2y^{2} + 3} + \dfrac{1}{y^{2} + 2z^{2} + 3} + \dfrac{1}{z^{2} + 2x^{2} + 3} \leq \dfrac{1}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:825492

Phương pháp giải

Phân tích mẫu và áp dụng BĐT Cô si ta được:

$x^{2} + 2y^{2} + 3 = \left( {x^{2} + y^{2}} \right) + \left( {y^{2} + 1} \right) + 2 \geq 2xy + 2y + 2$

$y^{2} + 2z^{2} + 3 \geq 2yz + 2z + 2,z^{2} + 2x^{2} + 3 \geq 2zx + 2x + 2$

Giải chi tiết

Ta có: $x^{2} + 2y^{2} + 3 = \left( {x^{2} + y^{2}} \right) + \left( {y^{2} + 1} \right) + 2 \geq 2xy + 2y + 2$ (áp dụng BĐT Cô si)

Tương tự: $y^{2} + 2z^{2} + 3 \geq 2yz + 2z + 2,z^{2} + 2x^{2} + 3 \geq 2zx + 2x + 2$

Suy ra $\dfrac{1}{x^{2} + 2y^{2} + 3} + \dfrac{1}{y^{2} + 2z^{2} + 3} + \dfrac{1}{z^{2} + 2x^{2} + 3} \leq \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{xy + y + 1} + \dfrac{1}{yz + z + 1} + \dfrac{1}{zx + x + 1}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{xy + y + 1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{xy} + 1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{y} + x + 1}} \right)$ (do $xyz = 1$)

$= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{xy + y + 1} + \dfrac{1}{\dfrac{y + 1 + xy}{xy}} + \dfrac{1}{\dfrac{1 + xy + y}{y}}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{xy + y + 1} + \dfrac{xy}{xy + y + 1} + \dfrac{y}{xy + y + 1}} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1 + xy + y}{xy + y + 1} \right) = \dfrac{1}{2}$

Dấu "$=$" xảy ra khi $x = y = z = 1$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link