Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả

Câu hỏi số 827194:

Vận dụng

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy móc có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827194

Phương pháp giải

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy, $x > 0$)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

$B = 200000x + \dfrac{8000}{30x} \cdot 192000 = 200000x + \dfrac{51200000}{x}$ (đồng)

Áp dụng bất đẳng thức $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ với hai số dương $200000x$ và $\dfrac{51200000}{x}$ để giải bài toán.

Giải chi tiết

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là $x$ (máy, $x > 0$)

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là $30x$ (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất 8000 quả bóng là $\dfrac{8000}{30x}$ (giờ)

Mỗi giờ phải trả 192 nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là 200 nghìn đồng nên chi phí sản xuất là:

$B = 200000x + \dfrac{8000}{30x} \cdot 192000 = 200000x + \dfrac{51200000}{x}$ (đồng)

Với hai số không âm a và b ta có ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ suy ra $a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Áp dụng bất đẳng thức trên với hai số dương $200000x$ và $\dfrac{51200000}{x}$, ta được: $200000x + \dfrac{51200000}{x} \geq 2\sqrt{200000x \cdot \dfrac{51200000}{x}} = 6400000.$

Dấu "=" xảy ra khi $200000x = \dfrac{51200000}{x}$ hay $x^{2} = 256$

Suy ra $x = 16$ (nhận); $x = - 16$ (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là 16 máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link