1) Một bồn hoa trong công viên có dạng hình vành khăn (tô đậm như hình vẽ) người ta muốn

Câu hỏi số 827193:

Vận dụng

1) Một bồn hoa trong công viên có dạng hình vành khăn (tô đậm như hình vẽ) người ta muốn trồng hoa bên trong phần tô đậm. Tính diện tích phần trồng hoa, biết rằng bán kính đường tròn lớn là 12 m và bán kính đường tròn nhỏ là 10 m.

2) Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $M\,\,(OM > R)$. Vẽ hai tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $(O)$ ($A,B$ là các tiếp điểm). Nối $OM$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại điểm $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OM\bot AB$ và $OH.OM = R^{2}$.

c) Vẽ đường kính $AC$ của đường tròn $(O)$, đường thẳng vuông góc với $AC$ tại O lần lượt cắt các đường thẳng $BC$ và $MB$ theo thứ tại các điểm $K$ và $N$. Hai đường thẳng $MK$ và $OB$ cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh $QN\bot MO$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:827193

Phương pháp giải

1) Áp dụng công thức $S = \pi\left( {R^{2} - r^{2}} \right)$

a) Gọi I là trung điểm OM

Chứng minh $IM = IO = IA = IB = \dfrac{OM}{2}$

Vậy 4 điểm $A,M,B,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\text{MO}$ là đường trung trực $\text{AB}$

Chứng minh $\Delta OHA \sim \Delta OAM$ (g.g)

Khi đó $OH.OM = OA^{2} = R^{2}$ (đpcm)

c) Chứng minh $\text{OMKC}$ là hình bình hành nên OC // MK

Mà $OK\bot AC$ nên $OK\bot MK$

Suy ra N là trực tâm của $\Delta OMQ$

Vậy $\text{QN}\bot\text{MO}$ (đpcm)

Giải chi tiết

1) Diện tích trồng hoa là $S = \pi\left( {R^{2} - r^{2}} \right) \approx 3,14\left( {12^{2} - 10^{2}} \right) = 138,16\,\,(m^{2})$

a) Vì $\text{MA},\text{MB}$ là hai tiếp tuyến (O) nên $\text{MA}\bot\text{OA};\text{MB}\bot\text{OB}$

Gọi I là trung điểm OM

Xét tam giác vuông MAO có trung tuyến AI ứng với cạnh huyền nên $IM = IO = IA = \dfrac{OM}{2}$

Tương tự với tam giác vuông MBO ta có $IM = IO = IB = \dfrac{MO}{2}$

$\left. \Rightarrow IM = IO = IA = IB \right.$

Vậy 4 điểm $A,M,B,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) * (O) có tiếp tuyến $\text{MA},\text{MB}$ cắt nhau tại M nên $\text{MA} = \text{MB}$.

Có $\text{OA} = \text{OB} = \text{R}$

Suy ra $\text{M},\text{O}$ thuộc đường trung trực của AB hay $\text{MO}$ là đường trung trực $\text{AB}$

Khi đó $\text{MO}\bot\text{AB}$

* Xét tam giác OHA và tam giác OAM có:

$\angle OHA = \angle OAM = 90^{0}$

$\angle AOM$ chung

Suy ra $\Delta OHA \sim \Delta OAM$ (g.g)

Khi đó $\dfrac{OH}{OA} = \dfrac{OA}{OM}$ hay $OH.OM = OA^{2} = R^{2}$ (đpcm)

c) Xét $\Delta ABC$ có: O là trung điểm của AC; H là trung điểm của AB (vì OM là đường trung trực của AB và OM cắt AB tại H)

Suy ra OH là đường trung bình của $\Delta ABC$

Khi đó $\text{OH}//\text{BC}$ suy ra $\angle AOM = \angle OCK$ (hai góc đồng vị)

Xét $\Delta MAO$ và $\Delta KOC$ có:

$\angle MAO = \angle KOC = 90^{0}$

$OA = OC = R$

$\angle AOM = \angle OCK$ (cmt)

Suy ra $\Delta MAO = \Delta KOC$ (g.c.g)

Khi đó $\text{OM} = \text{CK}$, mà OM // CK nên $\text{OMKC}$ là hình bình hành.

Vì $\text{OMKC}$ là hình bình hành nên OC // MK

Mà $OK\bot AC$ nên $OK\bot MK$

Xét $\Delta OMQ$ có: $OK\bot MK$, $MB\bot OB$

Suy ra N là trực tâm của $\Delta OMQ$

Vậy $\text{QN}\bot\text{MO}$ (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link