Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Câu hỏi số 827605:
Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 3} \right)\). Chọn các khẳng định đúng

Đáp án đúng là: A; D

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:827605
Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: $[f(u(x))]' = u'(x) \cdot f'(u(x))$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'(x)$ để xác định dấu của $f'(u(x))$.

Tìm các nghiệm của phương trình $g'(x) = 0$, phân biệt nghiệm chẵn (không đổi dấu) và nghiệm lẻ (có đổi dấu). Lập bảng xét dấu cho $g'(x)$ và kết luận về tính đơn điệu, cực trị của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có hàm số $g(x) = f(x^2 - 3)$.

Đạo hàm: $g'(x) = (x^2 - 3)' \cdot f'(x^2 - 3) = 2x \cdot f'(x^2 - 3)$.

Xét phương trình $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = 0 \\ f'(x^2 - 3) = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ f'(x^2 - 3) = 0 \end{array}\right.$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'(x)$, ta thấy đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại $x = -2$ và cắt trục hoành tại $x = 1$. Do đó:

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -2 \text{ (nghiệm kép)} \\ x = 1 \text{ (nghiệm đơn)} \end{array}\right.$

Và $f'(x) > 0$ khi $x > 1$; $f'(x) < 0$ khi $x < 1$ và $x \neq -2$.

Giải phương trình $f'(x^2 - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 - 3 = -2 \\ x^2 - 3 = 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x^2 = 1 \\ x^2 = 4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \pm 1 \text{ (nghiệm kép)} \\ x = \pm 2 \text{ (nghiệm đơn)} \end{array}\right.$

Vậy phương trình $g'(x) = 0$ có các nghiệm đơn làm đổi dấu đạo hàm là $x = -2, x = 0, x = 2$ và các nghiệm kép không làm đổi dấu đạo hàm là $x = -1, x = 1$.

Ta tiến hành xét dấu $g'(x)$:

Trên khoảng $(2; +\infty)$: chọn $x = 3 \Rightarrow x > 0$ và $x^2 - 3 = 6 > 1 \Rightarrow f'(x^2 - 3) > 0$. Suy ra $g'(x) = 2x \cdot f'(x^2 - 3) > 0$.

Do $x = -2, x = 0, x = 2$ là các nghiệm đơn (bội lẻ) nên đạo hàm $g'(x)$ đan dấu khi qua các nghiệm này:

Khoảng $(0; 2)$: $g'(x) < 0$.

Khoảng $(-2; 0)$: $g'(x) > 0$.

Khoảng $(-\infty; -2)$: $g'(x) < 0$.

Từ kết quả xét dấu, ta có:

Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị là $x = -2, x = 0, x = 2$. Suy ra khẳng định A đúng.

Tại $x = 0$, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên $x = 0$ là điểm cực đại. Suy ra khẳng định B sai.

Tại $x = 2$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên $x = 2$ là điểm cực tiểu. Suy ra khẳng định C sai.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$ do $g'(x) \ge 0, \forall x \in (-2; 0)$. Suy ra khẳng định D đúng.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ nên khẳng định E sai.

Vậy các khẳng định đúng là A và D.

Đáp án: A, D

Đáp án cần chọn là: A; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →