Cho biểu thức $A = \left( {\dfrac{2}{\sqrt{x}\ \ + 1} - \dfrac{\sqrt{x}\ \ - 2}{x - 1}}

Câu hỏi số 829092:

Vận dụng

Cho biểu thức $A = \left( {\dfrac{2}{\sqrt{x}\ \ + 1} - \dfrac{\sqrt{x}\ \ - 2}{x - 1}} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}\ \ + 1}$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$.

1) Rút gọn biểu thức A và tính giá trị của biểu thức A tại $x = 4$.

2) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:829092

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn, từ đó thay $x = 4$ vào biểu thức A đã rút gọn để tính.

2) Tách $A = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$, từ đó A nguyên khi $\sqrt{x} - 1$ là ước của 1.

Giải chi tiết

1) ĐKXĐ: $x \geq 0$ và $x \neq 1$

$A = \left( {\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 1}} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \left( {\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}} \right).(\sqrt{x} + 1)$

$A = \dfrac{2(\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}.(\sqrt{x} + 1)$

$A = \dfrac{2\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}$

$A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Với $x = 4$ (TMĐK), ta có: $A = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{4} - 1} = \dfrac{2}{2 - 1} = 2$

Vậy với $x = 4$ thì $A = 2$

2) ĐKXĐ: $x \geq 0$ và $x \neq 1$

$A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{\sqrt{x} - 1 + 1}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Để $A \in {\mathbb{Z}}$ thì $\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} \in {\mathbb{Z}}$

Suy ra $\sqrt{x} - 1$ là ước của 1.

Mà ta có Ư(1) = {$- 1;1$}

TH1:

$\sqrt{x} - 1 = - 1$

$\sqrt{x} = - 1 + 1$

$\sqrt{x} = 0$

$x = 0$ (TMĐK)

TH2:

$\sqrt{x} - 1 = 1$

$\sqrt{x} = 1 + 1$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$ (TMĐK)

Vậy biểu thức A nhận giá trị nguyên khi $x = 0$ hoặc $x = 4$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link