Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại

Câu hỏi số 836392:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), cạnh \(BC = 2a\) và \(\angle ABC = {60^0}\) Biết tứ giác \(BCC'C'\) là hình thoi có \(\angle B'BC\) nhọn, mặt phẳng \(\left( {BC'C'C} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:836392

Phương pháp giải

- Dựng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

- Kẻ \(B'H \bot BC \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).

- Tính \(B'H\).

- Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết

Kẻ \(B'H \bot BC \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).

Kẻ \(HK \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {B'HK} \right) \Rightarrow AB \bot B'K\). Khi đó: \(\left( {\left( {ABB'A'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \angle B'KH = {45^0}\).

Đặt \(B'H = x \Rightarrow HK = x\).

Xét tam giác \(BHB'\) có \(BH = \sqrt {BB{'^2} - B'{H^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \)

Ta có: \(HK\parallel AC\) nên \(\dfrac{{HK}}{{AC}} = \dfrac{{BH}}{{BC}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{x}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\\ \Leftrightarrow 2x = \sqrt 3 .\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Leftrightarrow 4{x^2} = 3\left( {4 - {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC\sin {30^0} = a\\AC = BC\sin {60^0} = a\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Thể tích khối lăng trụ là \(V = B'H.{S_{ABC}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}.\dfrac{1}{2}.1.\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^3}}}{{\sqrt 7 }}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.