Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S_{1} \right)$ có tâm $I\left( {2\,;\,\, 1\,;\,\, 1} \right)$, bán

Câu hỏi số 833808:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S_{1} \right)$ có tâm $I\left( {2\,;\,\, 1\,;\,\, 1} \right)$, bán kính bằng $4$ và mặt cầu $\left( S_{2} \right)$ có tâm $J\left( {2\,;\,\, 1\,;\,\, 5} \right)$, bán kính bằng $2$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( S_{1} \right),\,\,\left( S_{2} \right)$ và đặt $T_{1}\,,\,\, T_{2}$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $(P)$. Tìm giá trị $T_{1}^{2} + T_{2}^{2}$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 48

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:833808

Phương pháp giải

Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến với IJ. Chứng minh J là trung điểm IK

Gọi $\left. \overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \left( {a;b;c} \right)\Rightarrow(P) \right.$ qua K. Từ khoảng cách $d\left( {J;(P)} \right) = 2$ tìm được liên hệ a, b, c

Tính $d = d\left( {O,(P)} \right)$ và tìm GTLN bằng bunhiacopski tìm $T_{1};T_{2}$

Giải chi tiết

Vì $IJ - 4$ nên J là trung điểm của KI nên $K\left( {2;1;9} \right)$

Gọi $\left. \overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \left( {a;b;c} \right)\Rightarrow(P) \right.$ qua K có dạng $a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 1} \right) + c\left( {z - 9} \right) = 0$

$\left. \Leftrightarrow ax + by + cz - 2a - b - 9c = 0 \right.$

Ta có $\left. d\left( {J;(P)} \right) = 2\Leftrightarrow\dfrac{\left| {4c} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3c^{2} \right.$

$\begin{array}{l} {d = d\left( {O,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2a + b + 9c} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}} \\ \left. \Rightarrow d^{2} = \dfrac{{(2a + b + 9c)}^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \dfrac{{(2a + b + 9c)}^{2}}{4c^{2}} = \left( \dfrac{2a + b + 9c}{2c} \right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{2a + b}{c} + 9} \right)^{2} \right. \end{array}$

Đặt $\left. L = \dfrac{2a + b}{c} \leq \dfrac{\sqrt{\left( {a^{2} + b^{2}} \right)\left( {2^{2} + 1^{2}} \right)}}{c} \leq \dfrac{\left. \sqrt{15}. \middle| c \right|}{c}\Rightarrow - \sqrt{15} \leq L \leq \sqrt{15} \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow d^{2} = \dfrac{1}{4}\left( {L + 9} \right)^{2}\Rightarrow\dfrac{9 - \sqrt{15}}{2} \leq d \leq \dfrac{9 + \sqrt{15}}{2} \right. \\ \left. \Rightarrow T_{1} = \dfrac{9 - \sqrt{15}}{2};T_{2} = \dfrac{9 + \sqrt{15}}{2} \right. \\ \left. \Rightarrow T_{1}^{2} + T_{2}^{2} = 48 \right. \end{array}$

Đáp án cần điền là: 48

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.