Tích phân $I = {\int_{- 2}^{0}\left| \dfrac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|}dx = a + b\ln 2+c \ln3$. Khi

Câu hỏi số 841932:

Thông hiểu

Tích phân $I = {\int_{- 2}^{0}\left| \dfrac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|}dx = a + b\ln 2+c \ln3$. Khi đó $a + b + c$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:841932

Phương pháp giải

Tách tích phân thành từng khoảng ${\int_{a}^{b}f}(x)dx = {\int_{a}^{x_{1}}f}(x)dx + {\int_{x_{1}}^{x_{2}}f}(x)dx + \cdots$

Nếu $P(x) \geq 0$ thì $\left| P(x) \middle| = P(x) \right.$.

Nếu $P(x) \leq 0$ thì $\left| P(x) \middle| = - P(x) \right.$.

Giải phương trình $\dfrac{x^{2} - x - 2}{x - 1} = 0$ để tìm các điểm tách tích phân

Giải chi tiết

Xét biểu thức $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 1}$ trên đoạn $[-2; 0]$.

Cho tử số $x^2 - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 2$.

Trên đoạn $[-2; 0]$, ta chia thành 2 khoảng để xét dấu của $f(x)$:

Trên khoảng $[-2; -1)$: Tử số $x^2 - x - 2 > 0$ và mẫu số $x - 1 < 0$ nên $f(x) < 0$.

Trên khoảng $(-1; 0]$: Tử số $x^2 - x - 2 < 0$ và mẫu số $x - 1 < 0$ nên $f(x) > 0$.

Khi đó, tích phân $I$ được tách thành:

$I = \int_{-2}^{-1} \left| \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} \right| dx + \int_{-1}^{0} \left| \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} \right| dx$

$I = \int_{-2}^{-1} -\left( \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} \right) dx + \int_{-1}^{0} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} dx$

Thực hiện phép chia đa thức:

$\dfrac{x^2 - x - 2}{x - 1} = \dfrac{x(x - 1) - 2}{x - 1} = x - \dfrac{2}{x - 1}$

Tính tích phân thứ nhất trên đoạn $[-2; -1]$:

$I_1 = \int_{-2}^{-1} -\left( x - \dfrac{2}{x - 1} \right) dx = -\left[ \dfrac{x^2}{2} - 2\ln|x - 1| \right]_{-2}^{-1}$

$I_1 = -\left( \left( \dfrac{(-1)^2}{2} - 2\ln|-1 - 1| \right) - \left( \dfrac{(-2)^2}{2} - 2\ln|-2 - 1| \right) \right)$

$I_1 = -\left( \left( \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \right) - \left( 2 - 2\ln 3 \right) \right)$

$I_1 = -\left( -\dfrac{3}{2} - 2\ln 2 + 2\ln 3 \right) = \dfrac{3}{2} + 2\ln 2 - 2\ln 3$

Tính tích phân thứ hai trên đoạn $[-1; 0]$:

$I_2 = \int_{-1}^{0} \left( x - \dfrac{2}{x - 1} \right) dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} - 2\ln|x - 1| \right]_{-1}^{0}$

$I_2 = \left( \dfrac{0^2}{2} - 2\ln|0 - 1| \right) - \left( \dfrac{(-1)^2}{2} - 2\ln|-1 - 1| \right)$

$I_2 = \left( 0 - 2\ln 1 \right) - \left( \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \right) = -\dfrac{1}{2} + 2\ln 2$

Cộng hai kết quả lại ta được:

$I = I_1 + I_2 = \left( \dfrac{3}{2} + 2\ln 2 - 2\ln 3 \right) + \left( -\dfrac{1}{2} + 2\ln 2 \right)$

$I = 1 + 4\ln 2 - 2\ln 3$

Khi đó $a=1;b=4;c=-2$

Vậy $a + b + c = 1+4-2 = 3$

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.