Cho dãy tỉ số $\dfrac{2a + b + c + d}{a} = \dfrac{a + 2b + c + d}{b} = \dfrac{a + b + 2c + d}{c} = \dfrac{a + b +

Câu hỏi số 846241:

Vận dụng

Cho dãy tỉ số $\dfrac{2a + b + c + d}{a} = \dfrac{a + 2b + c + d}{b} = \dfrac{a + b + 2c + d}{c} = \dfrac{a + b + c + 2d}{d}$ với $a,\,\, b,\,\, c,\,\, d \neq 0$. Chứng minh rằng biểu thức $Q = \dfrac{a + b}{c + d} + \dfrac{b + c}{d + a} + \dfrac{c + d}{a + b} + \dfrac{d + a}{b + c}$ có giá trị là số nguyên

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:846241

Phương pháp giải

Từ giả thiết chứng minh $\dfrac{a + b + c + d}{a} = \dfrac{a + b + c + d}{b} = \dfrac{a + b + c + d}{c} = \dfrac{a + b + c + d}{d}$

Xét 2 trường hợp $a + b + c + d \neq 0,\,\, a + b + c + d = 0$

Giải chi tiết

Từ $\dfrac{2a + b + c + d}{a} = \dfrac{a + 2b + c + d}{b} = \dfrac{a + b + 2c + d}{c} = \dfrac{a + b + c + 2d}{d}$ suy ra

$\dfrac{2a + b + c + d}{a} - 1 = \dfrac{a + 2b + c + d}{b} - 1 = \dfrac{a + b + 2c + d}{c} - 1 = \dfrac{a + b + c + 2d}{d} - 1$

Hay $\dfrac{a + b + c + d}{a} = \dfrac{a + b + c + d}{b} = \dfrac{a + b + c + d}{c} = \dfrac{a + b + c + d}{d}$

Đặt $\dfrac{a + b + c + d}{a} = \dfrac{a + b + c + d}{b} = \dfrac{a + b + c + d}{c} = \dfrac{a + b + c + d}{d} = k$

Nếu $a + b + c + d \neq 0$ thì $a = b = c = d$

Khi đó $Q = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \in {\mathbb{Z}}$

Nếu $a + b + c + d = 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l} {a + b = - \left( {c + d} \right)} \\ {b + c = - \left( {d + a} \right)} \\ {c + d = - \left( {a + b} \right)} \\ {d + a = - \left( {b + c} \right)} \end{array} \right.$

Khi đó $Q = - 1 - 1 - 1 - 1 = - 4 \in {\mathbb{Z}}$

Vậy giá trị của biểu thức $Q$ là số nguyên

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link