Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A( - 3;2;2);B( - 5;3;7)\)và mặt phẳng

Câu hỏi số 847257:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A( - 3;2;2);B( - 5;3;7)\)và mặt phẳng (P) : \(x + y + z = 0\). Điểm \(M(a;b;c)\)thuộc \(\left( P \right)\)sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = 2a + b - c\)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847257

Phương pháp giải

+ Tìm điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)

+ Biến đổi biểu thức \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) để đưa về độ dài của \(MI\)

+ Suy ra \(M\) là hình chiếu của \(I\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\)

+ Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) làm VTCP

+ Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}d\\\left( P \right)\end{array} \right.\) ta tìm được tọa độ \(M.\)

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \)

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 3 - x;2 - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB} = \left( { - 5 - x;3 - y;7 - z} \right)\)

Suy ra \(2\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( { - 3 - x} \right) = - 5 - x\\2\left( {2 - y} \right) = 3 - y\\2\left( {2 - z} \right) = 7 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 3} \right)\)

Khi đó ta có

\(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Khi đó \(\left| {2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất khi \(IM\) nhỏ nhất.

Nhận thấy \(I \notin \left( P \right) \Rightarrow IM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)

+ Đường thẳng \(d\) qua \(I\left( { - 1;1; - 3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) làm VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + t\\z = - 3 + t\end{array} \right.\)

+ \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + t\\z = - 3 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\\ - 1 + t + 1 + t - 3 + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 0\\y = 2\\z = - 2\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\left( {0;2; - 2} \right)\)

Vậy \(T = 2a + b - c = 2.0 + 2 - \left( { - 2} \right) = 4.\)

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.