Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;5; - 5} \right)\), \(B\left(

Câu hỏi số 847256:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;5; - 5} \right)\), \(B\left( {5; - 3;7} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\). Tìm tung độ điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} - 2M{B^2}\) lớn nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:847256

Phương pháp giải

- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

- Biến đổi, chứng minh \({\left( {M{A^2} - 2M{B^2}} \right)_{\max }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\).

- Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\), tìm \(M = \Delta \cap \left( P \right)\).

Giải chi tiết

Gọi I thoả mãn \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Khi đó: \(\overrightarrow {IO} + \overrightarrow {OA} = 2\left( {\overrightarrow {IO} + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OI} = 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \).

\( \Rightarrow I\left( {13; - 11;19} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} - 2M{B^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MB} } \right)^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) + \left( {I{A^2} - 2I{B^2}} \right)\\ = - M{I^2} + \left( {I{A^2} - 2I{B^2}} \right)\end{array}\)

\(M{A^2} - 2M{B^2}\) lớn nhất khi \(MI\) nhỏ nhất. Khi đó \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(\left( P \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) thì phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + t\\y = - 11 + t\\z = 19 + t\end{array} \right.\), khi đó \(M = \Delta \cap \left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\,\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + t\\y = - 11 + t\\z = 19 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13 + t\\y = - 11 + t\\z = 19 + t\\13 + t - 11 + t + 19 + t = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13 + t\\y = - 11 + t\\z = 19 + t\\t = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 18\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 18;12} \right)\end{array}\)

Đáp án cần điền là: -18

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.