Cho $n$ là số nguyên dương sao cho $4n + 13$ và $5n + 16$ là các số chính phương. Chứng minh rằng

Câu hỏi số 849691:

Vận dụng

Cho $n$ là số nguyên dương sao cho $4n + 13$ và $5n + 16$ là các số chính phương. Chứng minh rằng $2025n + 2043$ chia hết cho 24

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849691

Phương pháp giải

Ta có: $2025n + 2043 = 2016\left( {n + 1} \right) + 9\left( {n + 3} \right)$

Ta cần chứng minh $\left( {n + 3} \right) \vdots 3,\,\,\left( {n + 3} \right) \vdots 8$

Giả sử $4n + 13 = a^{2}$ và $5n + 16 = b^{2}\,\,\left( {a,\,\, b \in {\mathbb{N}}*} \right)$

Từ đây ta chứng minh được $\left( {n + 3} \right) \vdots 3,\,\,\left( {n + 3} \right) \vdots 8$

Giải chi tiết

Giả sử $4n + 13 = a^{2}$ và $5n + 16 = b^{2}\,\,\left( {a,\,\, b \in {\mathbb{N}}*} \right)$

Vì $4n + 13 = a^{2}$ nên $a$ là số lẻ

Từ $4n + 13 = a^{2}$ ta được $4\left( {n + 3} \right) = a^{2} - 1 = \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)\,\,(1)$

Vì $a$ là số lẻ nên $a - 1,\,\, a + 1$ là hai số chẵn liên tiếp

Do đó $\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) \vdots 8\,\,(2)$

Từ (1) và (2) ta được $4\left( {n + 3} \right) \vdots 8$ suy ra $\left( {n + 3} \right) \vdots 2$

Suy ra $n + 3$ số chẵn hay $n$ là số lẻ

Khi đó $b^{2} = 5n + 16$ là số lẻ

Lại có: $5n + 16 = b^{2}$ hay $5\left( {n + 3} \right) = \left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right) \vdots 8$

Mà $\left( {5,8} \right) = 1$ nên $\left( {n + 3} \right) \vdots 8\,\,(1)$

Ta có: $a^{2} + b^{2} = 9n + 29 \equiv 2\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right)$

Mà $a^{2} \equiv 0;1\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right),\,\, b^{2} \equiv 0;1\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right)$ nên $a^{2} \equiv b^{2} \equiv 1\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right)$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {4n + 13 \equiv 1\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right)} \\ {5n + 16 \equiv 1\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right)} \end{array} \right.$ hay $n + 3 \equiv 0\,\,\left( {{mod}\,\, 3} \right)\,\,(2)$

Vì $\left( {3,8} \right) = 1$ nên từ (1) và (2) ta suy ra $\left( {n + 3} \right) \vdots 24$

Vậy $2025n + 2043 = 2016\left( {n + 1} \right) + 9\left( {n + 3} \right) \vdots 24$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link