Cho hai số nguyên $x,\,\, y$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + 1 = 2\left( {xy + x + y} \right)$. Chứng minh rằng $x$

Câu hỏi số 849690:

Vận dụng

Cho hai số nguyên $x,\,\, y$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + 1 = 2\left( {xy + x + y} \right)$. Chứng minh rằng $x$ và $y$ là hai số chính phương liên tiếp

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:849690

Phương pháp giải

Từ giả thiết suy ra $\left( {x - y + 1} \right)^{2} = 4x$

Từ đó suy ra $x$ là số chính phương. Đặt $x = m^{2}\,\,\left( {m \in {\mathbb{Z}}} \right)$

Ta chứng minh $y = \left( {m - 1} \right)^{2}$ hoặc $y = \left( {m + 1} \right)^{2}$

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta suy ra $x^{2} + y^{2} + 1 - 2xy + 2x - 2y = 4x$ hay $\left( {x - y + 1} \right)^{2} = 4x$

Do $x,\,\, y$ nguyên nên $x$ là số chính phương

Đặt $x = m^{2}\,\,\left( {m \in {\mathbb{Z}}} \right)$

Suy ra $\left( {m^{2} - y + 1} \right)^{2} = 4m^{2}$

Khi đó $m^{2} - y + 1 = 2m$ hoặc $m^{2} - y + 1 = - 2m$

Nếu $m^{2} - y + 1 = 2m$ thì $y = \left( {m - 1} \right)^{2}$

Nếu $m^{2} - y + 1 = - 2m$ thì $y = \left( {m + 1} \right)^{2}$

Như vậy $x,\,\, y$ là hai số chính phương liên tiếp

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link