Cho $\Delta ABC$ cân tại $A;\angle A < 90^{\circ}$, đường cao $AH\left( {\text{H} \in BC} \right)$a) Chứng

Câu hỏi số 852032:

Vận dụng

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A;\angle A < 90^{\circ}$, đường cao $AH\left( {\text{H} \in BC} \right)$

a) Chứng minh $\Delta AHB = \Delta AHC$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt đường thẳng $BM$ tại $E$. Chứng minh $CE = 2AM$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AH$ và $BE$. Chứng minh $AC + CB > 3BI$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852032

Phương pháp giải

a) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Cạnh huyền - Cạnh góc vuông hoặc Cạnh huyền - Góc nhọn).

b) Chứng minh tam giác bằng nhau (Góc - Cạnh - Góc) để suy ra cạnh tương ứng.

c) Sử dụng tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác (trọng tâm) và Bất đẳng thức tam giác.

Giải chi tiết

a) Ta có $AH\bot BC$ nên $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ vuông tại $H$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ và $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có

$AH$ cạnh chung, $AB = AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Do đó $\Delta AHB = \Delta AHC$ (2 cạnh góc vuông)

b) Ta có $CE//AB$ nên $\widehat{BAM} = \widehat{MCE}$ (2 góc so le trong)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CEM$ có:

$AM = MC$ (Vì M là trung điểm AC)

$\widehat{BAM} = \widehat{MCE}$ (chứng minh trên)

$\widehat{AMB} = \widehat{CME}$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy $\Delta ABM = \Delta CEM\ $ (c.g.c)

Suy ra $AB = CE$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AB = AC$ nên $CE = AC$

Có $M$ là trung điểm $AC$ nên $AC = 2AM = 2MC$

Do đó $CE = 2AM$

c) Ta có $\Delta AHB = \Delta AHC$ (câu a)

Nên $HB = HC$ ( hai cạnh tương ứng)

Do đó $H$ là trung điểm của $BC$

Vậy $AH$ là trung tuyến của $\Delta ABC$

Ta có $M$ là trung điểm của $AC$ nên $BM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$

Mà $BM$ cắt $AH$ tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

Do đó $BI = \dfrac{2}{3}BM$

Vì $\Delta ABM = \Delta CEM$ (câu $b$) nên $BM = EM$ (2 cạnh tương ứng)

Do đó $M$ là trung điểm của $BE$

Suy ra $BM = \dfrac{1}{2}BE$

Ta có $BI = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}BE = \dfrac{1}{3}BE$ nên $BE = 3BI$

Xét $\Delta BCE$ có $CE + BC > BE$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $CE = AC,BE = 3BI$ (chứng minh trên)

Nên $AC + CB > 3BI$

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link