1) Cho các số thực dương $a,b$. Chứng minh $a^{3} + b^{3} \geq a^{2}b + ab^{2}$.2) Cho các số thực

Câu hỏi số 858212:

Vận dụng

1) Cho các số thực dương $a,b$. Chứng minh $a^{3} + b^{3} \geq a^{2}b + ab^{2}$.

2) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab + bc + ca \geq 3$. Chứng minh $2\left( {a^{3} + b^{3} + c^{3}} \right) + 3abc \geq 9$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858212

Phương pháp giải

1) Phân tích $\begin{matrix} {a^{3} + b^{3} - a^{2}b - ab^{2} = \left( {a + b} \right){(a - b)}^{2}} \end{matrix}$ và lập luận chứng minh

2) Từ (1) phân tích $\left( {a^{3} + b^{3}} \right) + \left( {b^{3} + c^{3}} \right) + \left( {c^{3} + a^{3}} \right) + 3abc \geq (a + b + c)(ab + bc + ca)$

Giải chi tiết

1) Ta có

Conversion failed

Vì ${(a - b)}^{2} \geq 0$ và $a + b > 0$ (do $a,b$ dương) nên $\left( {a + b} \right){(a - b)}^{2} \geq 0$.

Từ (4), ta được $a^{3} + b^{3} \geq a^{2}b + ab^{2}$

2) Áp dụng ý 1), ta có

$\begin{array}{l} {\left( {a^{3} + b^{3} + c^{3}} \right) + 3abc} \\ {= \left( {a^{3} + b^{3}} \right) + \left( {b^{3} + c^{3}} \right) + \left( {c^{3} + a^{3}} \right) + 3abc} \\ {\geq \left( {a^{2}b + ab^{2}} \right) + \left( {b^{2}c + bc^{2}} \right) + \left( {c^{2}a + ca^{2}} \right) + 3abc} \\ {= \left( {a^{2}b + ab^{2} + abc} \right) + \left( {b^{2}c + bc^{2} + abc} \right) + \left( {c^{2}a + ca^{2} + abc} \right)} \\ {= ab(a + b + c) + bc(a + b + c) + ca(a + b + c)(5)} \\ {= (a + b + c)(ab + bc + ca)} \end{array}$

Ta có ${(a + b + c)}^{2} \geq 3\left( {ab + bc + ca} \right) \geq 9$, do đó $a + b + c \geq 3$.

Từ (5), ta thu được $2\left( {a^{3} + b^{3} + c^{3}} \right) + 3abc \geq 3 \cdot 3 = 9$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link