1) Chứng minh rằng trong 37 số nguyên dương bất kỳ, luôn tìm được 7 số có tổng chia hết cho

Câu hỏi số 858211:

Vận dụng

1) Chứng minh rằng trong 37 số nguyên dương bất kỳ, luôn tìm được 7 số có tổng chia hết cho 7.

2) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho với mọi số nguyên dương $a,b$ thì hai số $a + 8b$ và $6a + 43b$ hoặc cùng chia hết cho $p$ hoặc cùng không chia hết cho $p$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858211

Phương pháp giải

Ở ý 1), đây là một câu hỏi sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải quyết. Nhận thấy rằng trường hợp "đẹp nhất" khi chọn 7 số đó là 7 số này nhận đầy đủ số dư từ 0 đến 6 hoặc cả 7 số đều có cùng số dư (khi chia cho 7). Ngoài ra, $37 = 5 \cdot 7 + 2$, vì vậy việc chứng tỏ luôn có 7 số có cùng số dư không khả thi; tuy nhiên, ta hoàn toàn có thể làm "yếu đi" một chút bằng cách loại đi trường hợp đầu tiên là 7 số nhận đầy đủ số dư từ 0 đến 6 ; khi đó trong 37 số chỉ nhận không quá 6 số dư khác nhau, mà $37 = 6 \cdot 6 + 1$, đến đây nguyên lý Dirichlet sẽ giúp ta xử lý phần còn lại.

2) Giả sử cả hai số đều chia hết cho $p$. Lập luận để "thu gọn" phép chia hết, ta dễ dàng thu được $5b \vdots p$, từ đây ta được $5 \vdots p$ hoặc $b \vdots p$. Trường hợp $p = 5$ thỏa mãn và rất dễ dàng kiểm tra. Trong khi đó với trường hợp $b:p$, ta sẽ suy ra được $a:p$. Vì vậy ta có được một nhận xét quan trọng rằng nếu $a + 8b$ và $6a + 43b$ đều chia hết cho $p$ thì $a,b \vdots p$. Từ đây ta thấy rằng chỉ cần chỉ ra được một cặp ($a;b$) sao cho $a$ hoặc $b$ không chia hết cho $p$ và $a + 8b \vdots p$, ta sẽ loại được ngay trường hợp này. Ỏ đây ta chỉ ra một cách chọn đơn giản nhất là với $b = 1$, khi đó $a + 8b = a + 8$, ta chỉ cần chọn $a = 5p - 8$ (mục đích chọn $5p$ để $a$ dương).

Giải chi tiết

1) Nếu trong 37 số nguyên dương này có đủ các số dư từ 0 đến 6 khi chia cho 7, ta chọn 7 số có số dư khi chia cho 7 lần lượt từ 0 đến 6, khi đó tổng của 7 số này chia hết cho 7.

Nếu trong 37 số nguyên dương này có không quá 6 số dư khác nhau, vì $37 = 6 \cdot 6 + 1$ nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất 7 số có cùng số dư khi chia cho 7 .

Chọn 7 số này và khi đó tổng của chúng chia hết cho 7.

2) Nếu $p = 5$, vì $\left( {6a + 43b} \right) - \left( {a + 8b} \right) = 5a + 35b \vdots 5$ nên $6a + 43b \equiv a + 8b\left( {\text{mod}5} \right)$.

Vì vậy $a + 8b$ và $6a + 43b$ hoặc cùng chia hết cho $p$ hoặc cùng không chia hết cho $p$.

Nếu $p \neq 5$, giả sử tồn tại hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a + 8b$ và $6a + 43b$ đều chia hết cho $p$.

Vì $6a + 43b = 6\left( {a + 8b} \right) - 5b \vdots p$, mà $a + 8b \vdots p$ nên $5b \vdots p$.

Hơn nữa $\text{gcd}\left( {p,5} \right) = 1$ nên $b \vdots p$.

Kết hợp với $a + 8b \vdots p$, ta suy ra $a \vdots p$.

Như vậy, nếu $a + 8b$ và $6a + 43b$ đều chia hết cho $p$ thì $a$ và $b$ đều chia hết cho $p$.

Chọn $b = 1$ và $a = 5p - 8 > 0$, ta có $a + 8b = 5p - 8 + 8 = 5p \vdots p$, theo nhận xét trên thì 1 và $5p - 8$ đều chia hết cho $p$, vô lý.

Vậy chỉ có duy nhất số nguyên tố $p = 5$ cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link