Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn $(O)$ có 3 đường cao AD, BE, CF cắt

Câu hỏi số 941407:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn $(O)$ có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh $\widehat{A E F}=\widehat{A B C}$.
3) Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của ba đường thẳng AD, BE, CF với $(O)$ tương ứng khác A, B, C. Chứng minh H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác PQR.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:941407

Phương pháp giải

Chứng minh hai đỉnh E, F cùng nhìn đoạn BC dưới góc $90^\circ$ để suy ra tứ giác nội tiếp.

Vận dụng tính chất góc nội tiếp của đường tròn $(O)$ và các tứ giác nội tiếp liên quan để chứng minh PH, QH, RH lần lượt là các đường phân giác của $\triangle PQR$.

Giải chi tiết

1) Chứng minh BCEF nội tiếp:

Vì BE là đường cao của $\triangle A B C$ nên $B E \perp A C$ hay $\widehat{B E C}=90^{\circ}$.
Gọi M là trung điểm của BC.
$\triangle B C E$ vuông tại E nên $\triangle B C E$ nội tiếp $\left(M ; \dfrac{B C}{2}\right)$ hay $B, C, E \in\left(M ; \dfrac{B C}{2}\right)$
Tương tự $B, C, F \in\left(M ; \dfrac{B C}{2}\right)$.
Vậy $B, C, E, F \in\left(M ; \dfrac{B C}{2}\right)$.
Do đó tứ giác BCEF nội tiếp $\left(M ; \dfrac{B C}{2}\right)$.

2) Chứng minh $\widehat{A E F}=\widehat{A B C}$ :
Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (kết quả ý 1) nên $\widehat{F B C}+\widehat{F E C}=180^{\circ}$ (1).
Mà $\widehat{A E F}+\widehat{F E C}=180^{\circ}(2)$ (hai góc kề bù).
Từ (1) và (2) ta có $\widehat{A E F}=\widehat{F B C}$ hay $\widehat{A E F}=\widehat{A B C}$.

3) Chứng minh H là tâm của đường tròn nội tiếp $\triangle P Q R$:

Ta có $\widehat{A P R}=\widehat{A C R}$ (hai góc nồi tiếp cùng chắn môt cung của $(O)$ ).
Hay $\widehat{H P R}=\widehat{E C F}$
Mà $\widehat{E C F}=\widehat{E B F}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung của $\left(M ; \dfrac{B C}{2}\right)$ )
Vậy $\widehat{H P R}=\widehat{E B F}$.
Hay $\widehat{H P R}=\widehat{Q B A}$.
Tương tự $\widehat{Q B A}=\widehat{Q P A}$
Nên $\widehat{H P R}=\widehat{Q P A}$ hay $\widehat{H P R}=\widehat{H P Q}$
Vậy PH là tia phân giác của $\widehat{Q P R}$.
Tương tự QH là tia phân giác của $\widehat{P Q R}$.
Do đó H là tâm của đường tròn nội tiếp $\triangle P Q R$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link