Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và các điểm $M(0;2)$, $N(5; - 3)$, $P( - 2; - 2)$,

Câu hỏi số 942870:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và các điểm $M(0;2)$, $N(5; - 3)$, $P( - 2; - 2)$, $Q(2; - 4)$ lần lượt thuộc các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC, CD, DA. Tính diện tích hình vuông ABCD với cạnh lớn hơn 3.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942870

Phương pháp giải

Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Thiết lập phương trình các cạnh của hình vuông.

Sử dụng tính chất khoảng cách giữa các cặp cạnh song song của hình vuông bằng nhau để tìm vectơ pháp tuyến.

Giải chi tiết

Gọi ${\overset{\rightarrow}{n}}_{AB} = (a;b)$ với $a^{2} + b^{2} > 0$ là vectơ pháp tuyến của AB.

Phương trình AB qua $M(0;2)$ là: $ax + by - 2b = 0$.

Đường thẳng BC vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{BC} = (b; - a)$.

Phương trình BC qua $N(5; - 3)$ là: $\left. b(x - 5) - a(y + 3) = 0\Leftrightarrow bx - ay - 5b - 3a = 0 \right.$.

Hình vuông có $d(P,AB) = d(Q,BC)$, nên:

$\left. \dfrac{| - 2a - 2b - 2b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \dfrac{|2b + 4a - 5b - 3a|}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}}\Leftrightarrow \middle| 2a + 4b \middle| = \middle| a - 3b \right|$.

Suy ra $a = - 7b$ hoặc $3a = - b$.

Với $a = - 7b$, chọn $b = 1,a = - 7$. Phương trình AB là $- 7x + y - 2 = 0$.

Cạnh hình vuông $c = d(P,AB) = \dfrac{|14 - 2 - 2|}{\sqrt{50}} = \sqrt{2}$ (loại)

Với $3a = - b$, chọn $a = 1,b = - 3$. Phương trình AB là $x - 3y + 6 = 0$.

Cạnh hình vuông $c = d(P,AB) = \dfrac{| - 2 + 6 + 6|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.

Vậy diện tích hình vuông $S = c^{2} = 10$.

Đáp án cần điền là: 10

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.