1) Bạn An có một quả nặng không thấm nước có dạng hình cầu với đường

Câu hỏi số 943088:

Vận dụng

1) Bạn An có một quả nặng không thấm nước có dạng hình cầu với đường kính bằng 4 cm.
a) Tính thể tích của quả nặng.
b) Bạn An thả quả nặng vào cốc thủy tinh chứa đầy nước, có dạng hình trụ với bán kính đáy là 3 cm, và diện tích xung quanh của cốc là $60 \pi \mathrm{cm}^2$, bạn thấy nước bị tràn ra ngoài. Tính thể tích nước còn lại trong cốc.
(Lấy $\pi \approx 3,14$, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của centimet khối với cả hai câu a và b).
2) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính $A B=2 R$. Lấy điểm C thuộc đường tròn $(O)$ (C không trùng với A, B). Kẻ CH vuông góc với AB $(H \in A B)$, HM vuông góc với AC $(M \in A C)$, HN vuông góc với BC $(N \in B C).$
a) Chứng minh bốn điểm C, M, H, N thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $\triangle N M C \backsim \triangle A B C$ và tính diện tích của $\triangle N M C$ theo R nếu $\widehat{C A B}=60^{\circ}.$
c) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và HB, P là giao điểm của MK và IN. Chứng minh HP vuông góc với MN.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943088

Phương pháp giải

1) Sử dụng công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ và hình trụ $V = \pi r^2 h$.

Tìm chiều cao cốc từ diện tích xung quanh $S_{xq} = 2\pi rh$, tính hiệu thể tích để tìm lượng nước còn lại.

2a) Chứng minh tứ giác CMHN có các góc vuông.

2b) Sử dụng tính chất hình chữ nhật và góc nội tiếp để chứng minh tam giác đồng dạng; dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính các cạnh theo R.

2c) Chứng minh MI và NK cùng vuông góc với MN để suy ra song song, dùng định lý Thales để chứng minh $HP \parallel MI$ và suy ra vuông góc.

Giải chi tiết

a) Ta có $R=4: 2=2 \mathrm{~cm}$.
Thể tích của quả nặng là:
$V=\dfrac{4}{3} \pi \cdot R^3=\dfrac{4}{3} \pi \cdot 2^3=\dfrac{32}{3} \pi \approx 33,49\left(\mathrm{cm}^3\right) .$
b) Tính chiều cao của hình trụ:
$S_{x q}=2 \pi r h=2 \pi \cdot 3 \cdot h=60 \pi\left(\mathrm{cm}^2\right) $
Suy ra $h=10(\mathrm{cm})$
Thể tích của nước trong cốc khi chưa thả quả nặng là:
$V_n=\pi r^2 h=\pi \cdot 3^2 \cdot 10=90 \pi\left(c m^3\right)$
Thể tích nước còn lại trong cốc:
$V=V_n-V_q=90 \pi-\dfrac{32 \pi}{3}=\dfrac{238 \pi}{3} \approx 249,11\left(\mathrm{~cm}^3\right)$.

a) Ta có

$HM \perp AC$ tại $M$ (gt) $\Rightarrow \angle CMH = 90^\circ$. Suy ra M thuộc đường tròn đường kính CH. (1)

$HN \perp BC$ tại $N$ (gt) $\Rightarrow \angle CNH = 90^\circ$. Suy ra N thuộc đường tròn đường kính CH. (2)

Từ (1), (2) suy ra bốn điểm C, M, H, N cùng thuộc đường tròn đường kính CH.

b) Chứng minh $\triangle NMC \sim \triangle ABC$:

Vì tứ giác CMHN là hình chữ nhật nên $MN = CH$.

Gọi $O'$ là giao điểm của CH và MN, ta có $O'M = O'H$ nên $\triangle O'MH$ cân tại O'

$\Rightarrow \angle O'MH = \angle O'HM$.

Ta có $\angle O'HM + \angle A = 90^\circ$ (do $\triangle AHC$ vuông tại $H$) và $\angle MCH + \angle A = 90^\circ$.

Suy ra $\angle O'HM = \angle A$.

Do đó $\angle O'MH = \angle A$ hay $\angle NMC = \angle BAC$.

Xét $\triangle NMC$ và $\triangle ABC$ có:

$\angle C$ chung ($90^\circ$) và $\angle NMC = \angle BAC$ (cmt).

Vậy $\triangle NMC \sim \triangle ABC$ (g-g).

Tính diện tích $\triangle NMC$:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại C, ta có $AC = AB \cdot \cos 60^\circ = 2R \cdot \dfrac{1}{2} = R$.

Xét $\triangle AHC$ vuông tại H, có $CH = AC \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.

Xét $\triangle CHM$ vuông tại M, có

$CM = CH \cdot \sin \angle MCH = CH \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3R}{4}$.

Xét $\triangle CHN$ vuông tại N, có

$CN = CH \cdot \cos \angle MCH = CH \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{R\sqrt{3}}{4}$.

Diện tích $\triangle NMC$ là:

$S_{NMC} = \dfrac{1}{2} CM \cdot CN = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3R}{4} \cdot \dfrac{R\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3\sqrt{3}R^2}{32}$ (đvdt).

c) Chứng minh HP vuông góc với MN:

Xét $\triangle AMH$ vuông tại M, I là trung điểm AH nên

$IM = IH = \dfrac{1}{2}AH \Rightarrow \triangle IMH$ cân tại $I \Rightarrow \angle IMH = \angle IHM$.

Ta có $\angle IMN = \angle IMH + \angle HM N = \angle IHM + \angle MCH$.

Vì $CH \perp AB$ nên $\angle IHM + \angle MCH = 90^\circ$.

Suy ra $\angle IMN = 90^\circ$ hay $MI \perp MN$.

Chứng minh tương tự với $\triangle BNH$, ta có $NK \perp MN$. Suy ra $MI \parallel NK$.

Xét $\triangle PNK$ có $MI \parallel NK$, theo định lý Thales ta có: $\dfrac{PM}{PK} = \dfrac{MI}{NK}$.

Mà $MI = \dfrac{1}{2}AH$ và $NK = \dfrac{1}{2}HB$, nên $\dfrac{MI}{NK} = \dfrac{AH}{HB} = \dfrac{2HI}{2HK} = \dfrac{HI}{HK}$.

Suy ra $\dfrac{PM}{PK} = \dfrac{HI}{HK}$.

Xét $\triangle MHK$, theo định lý Thales đảo, ta có $HP \parallel MI$.

Mà $MI \perp MN$ (cmt), suy ra $HP \perp MN$ (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link