Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 3x\). Xét các số thực \(a < b\),

Câu hỏi số 943571:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 3x\). Xét các số thực \(a < b\), tính giá trị nhỏ nhất của \(f\left( b \right) - f\left( a \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:943571

Phương pháp giải

Lập bảng biến thiên, chia thành các khoảng nhỏ để xét hiệu GTLN và GTNN trên từng khoảng

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 3x \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 10x + 3\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{13}}{{27}}}\\{x = 3 \Rightarrow y = - 9}\end{array}} \right.\)

BBT

Với \(a < b\) từ bảng biến thiên ta có

Nếu \(a,b \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right]\) hoặc \(a,b \in \left[ {3; + \infty } \right)\) thì \(f\left( b \right) - f\left( a \right) > 0\left( 1 \right)\)

Nếu \(a \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right],b \in \left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right)\) thì \(f\left( a \right) \le f\left( {\dfrac{1}{3}} \right);{\rm{\;}}f\left( b \right) \ge f\left( 3 \right)\)

Suy ra \(f\left( b \right) - f\left( a \right) \ge f\left( 3 \right) - f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) \ge - 9 - \dfrac{{13}}{{27}} = - \dfrac{{256}}{{27}}\) (2)

Nếu \(a \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right),b \in \left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right)\) thì \(f\left( a \right) < f\left( {\dfrac{1}{3}} \right);{\rm{\;}}f\left( b \right) \ge f\left( 3 \right)\)

Suy ra \(f\left( b \right) - f\left( a \right) > f\left( 3 \right) - f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) > - 9 - \dfrac{{13}}{{27}} = - \dfrac{{256}}{{27}}\) (3)

Từ (1),(2),(3) ta có \(f\left( b \right) - f\left( a \right) \ge - \dfrac{{256}}{{27}}\). Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a = \dfrac{1}{3};b = 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( b \right) - f\left( a \right)\) bằng \(\dfrac{{ - 256}}{{27}}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.