Có tất cả bao nhiêu dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng

Câu hỏi số 944416:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng 2010.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:944416

Phương pháp giải

Gọi $2x$ là số tự nhiên chẵn đầu tiên của dãy và $2x + 2y$ là số chẵn cuối của dãy

Từ tổng bằng 2010 chứng minh tập các giá trị của y+1 thuộc ước 2010 và kiểm tra các dãy số

Giải chi tiết

Gọi $2x$ là số tự nhiên chẵn đầu tiên của dãy. Khi đó theo giả thiết ta có:

2x + (2x + 2) + (2x + 4) + ... + (2x + 2y) = 2010

\Leftrightarrow x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + y) = 1005

\Leftrightarrow (y + 1)x + 1 + 2 + ... + y = 1005

\Leftrightarrow (y + 1)x + \frac{y(y + 1)}{2} = 1005 \Leftrightarrow (y + 1)(2x + y) = 2010

Suy ra $(y + 1)$ là ước số của $2010 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67$.

Nên suy ra $(y + 1) \in \{2; 3; 5; 6; 10; 15; 30; 67; 134; 201; 335; 402; 670; 1005; 2010\}$.

Hay ta được $y \in \{1; 2; 4; 5; 9; 14; 29; 66; 133; 200; 334; 401; 669; 1004; 2009\}$. Đến đây ta có:

- Với $y = 1$ ta có $2x + 1 = 1005 \Leftrightarrow 2x = 1004$ nên dãy số cần tìm là 1004, 1006.

- Với $y = 2$ ta có $2x + 2 = 670 \Leftrightarrow 2x = 668$ nên dãy số cần tìm là 668, 670, 672.

- Với $y = 4$ ta có $5(2x + 4) = 2010 \Leftrightarrow 2x = 398$ nên dãy số cần tìm là 398, 400, 402, 404, 406.

- Với $y = 5$ ta có $6(2x + 5) = 2010 \Leftrightarrow 2x = 330$ nên dãy số cần tìm là 330, 332, 334, 336, 338, 340.

- Với $y = 9$ ta có $10(2x + 9) = 2010 \Leftrightarrow 2x = 192$, nên dãy số cần tìm là 192, 194, 196, 198, 200, 202, 204, 206, 208, 210.

- Với $y = 14$ ta có $15(2x + 14) = 2010 \Leftrightarrow 2x = 120$ nên dãy số cần tìm là 120, 122, 124, 126, ..., 148.

- Với $y = 29$ ta có $30(2x + 29) = 2010 \Leftrightarrow 2x = 38$ nên dãy số cần tìm là 38, 40, 42, 44, 46, ..., 96.

- Với $y \geq 67$ ta có $(2x + y) \leq 30 \Leftrightarrow 2x < 0$ nên không tồn tại dãy số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy chỉ có 7 dãy số tự nhiên chẵn liên tiếp như trên thoả điều kiện bài toán.

Đáp án cần điền là: 7

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.