Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H

Câu hỏi số 944136:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Biết tam giác SAB đều và SH vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha \) là số đo góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD). Tính \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha\), kết quả viết dưới dạng phân số tối giản.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 7/5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:944136

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính số đo góc.

Giải chi tiết

Nối \(CK \cap HD = I\). Ta chứng minh được \(CK \bot HD\)

Do đó \(\widehat {\left( {SC;\left( {SHD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SI} \right)} = \widehat {CSI} = \alpha \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right)\).

Có \({S_{\Delta HCD}} = \dfrac{1}{2}CI.HD = {S_{ABCD}} - 2.{S_{\Delta BHC}} = {a^2} - 2.\dfrac{1}{2}a.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow CI = \dfrac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{HD}} = \dfrac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{\sqrt {A{D^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\). \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác SIC vuông tại I ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{IC}}{{SC}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}:a\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Do đó \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha = 1 + {\sin ^2}\alpha = 1 + \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{7}{5}\).

Đáp án cần điền là: 7/5

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.