Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD. Biết tam giác SAB đều và SH vuông góc với đáy. Gọi \(\alpha \) là số đo góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD). Tính \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha\), kết quả viết dưới dạng phân số tối giản.
Đáp án đúng là: 7/5
Quảng cáo
Áp dụng phương pháp xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SHD).
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính số đo góc.
Nối \(CK \cap HD = I\). Ta chứng minh được \(CK \bot HD\)
Do đó \(\widehat {\left( {SC;\left( {SHD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SI} \right)} = \widehat {CSI} = \alpha \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right)\).
Có \({S_{\Delta HCD}} = \dfrac{1}{2}CI.HD = {S_{ABCD}} - 2.{S_{\Delta BHC}} = {a^2} - 2.\dfrac{1}{2}a.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow CI = \dfrac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{HD}} = \dfrac{{2{S_{\Delta HCD}}}}{{\sqrt {A{D^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\). \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + B{C^2} + B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác SIC vuông tại I ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{IC}}{{SC}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}:a\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).
Do đó \({\cos ^2}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha = 1 + {\sin ^2}\alpha = 1 + \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{7}{5}\).
Đáp án cần điền là: 7/5
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
