Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên $1,2,\ldots,9$ và điền vào các ô của hình

Câu hỏi số 945990:

Vận dụng

Có bao nhiêu cách chọn sáu số từ chín số nguyên $1,2,\ldots,9$ và điền vào các ô của hình dưới đây (mỗi ô chỉ điền đúng một số) sao cho tổng các số ở mỗi cột (kể cả cột có một ô) bằng nhau?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945990

Phương pháp giải

Gọi S là tổng các số ở mỗi cột. Cột 1 có 1 ô nên giá trị ô đó là S. Cột 2 có 2 ô có tổng bằng S. Cột 3 có 3 ô có tổng bằng S. Tìm các bộ 6 số từ tập $\left\{ 1,2,\ldots,9 \right\}$ thỏa mãn điều kiện này, sau đó tính số cách sắp xếp cho mỗi bộ.

Giải chi tiết

Giả sử các số điền vào cột 1 là $\left\{ x_{1} \right\}$, cột 2 là $\left\{ x_{2},x_{3} \right\}$ và cột 3 là $\left\{ x_{4},x_{5},x_{6} \right\}$

Ta có $x_{1} = x_{2} + x_{3} = x_{4} + x_{5} + x_{6} = S$

Vì các số là đôi một khác nhau và thuộc tập $\left\{ 1,\ldots,9 \right\}$, ta có $S \leq 9$

Đồng thời $x_{4} + x_{5} + x_{6} \geq 1 + 2 + 3 = 6$, suy ra $S \in \left\{ 6,7,8,9 \right\}$

- Trường hợp $S = 9$: Có các bộ $\left\{ x_{2},x_{3} \right\}$ là $\left\{ 1,8 \right\},\left\{ 2,7 \right\},\left\{ 4,5 \right\}$

+ Nếu cột 2 là $\left\{ 4,5 \right\}$, cột 3 là $\left\{ 1,2,6 \right\}$. Bộ số: $\left\{ 9,4,5,1,2,6 \right\}$.

+ Nếu cột 2 là $\left\{ 1,8 \right\}$, cột 3 là $\left\{ 2,3,4 \right\}$. Bộ số: $\left\{ 9,1,8,2,3,4 \right\}$.

+ Nếu cột 2 là $\left\{ 2,7 \right\}$, cột 3 là $\left\{ 1,3,5 \right\}$. Bộ số: $\left\{ 9,2,7,1,3,5 \right\}$.

- Trường hợp $S = 8$: Chỉ có 1 bộ thỏa mãn là cột 1 là $\left\{ 8 \right\}$, cột 2 là $\left\{ 2,6 \right\}$, cột 3 là $\left\{ 1,3,4 \right\}$.

Bộ số: $\left\{ 8,2,6,1,3,4 \right\}$.

- Trường hợp $S = 7$ và $S = 6$: Không tìm được bộ 6 số phân biệt thỏa mãn.

Mỗi bộ số có $1!.2!.3! = 12$ cách điền vào các ô.

Vậy tổng số cách là $12.4 = 48$.

Đáp án cần điền là: 48

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.