Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với $AB = 6$, $AD = 8$, $DH = 10$. Gọi điểm M là trung điểm AF và

Câu hỏi số 945995:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với $AB = 6$, $AD = 8$, $DH = 10$. Gọi điểm M là trung điểm AF và điểm I thuộc (ABCD). Khi $IM + IG$ nhỏ nhất thì điểm I cách hai đường thẳng BA và BC tương ứng bằng a, b. Giá trị biểu thức $P = 3a + 6b$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:945995

Phương pháp giải

Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz với A là gốc tọa độ.

Sử dụng phép đối xứng qua mặt phẳng $(ABCD)$ để tìm điểm I sao cho $IM + IG$ nhỏ nhất.

Xác định tọa độ I và tính các khoảng cách a, b.

Giải chi tiết

Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz với A là gốc tọa độ như hình vẽ.

Ta có:

$A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;8;0)$, $D(0;8;0)$, $E(0;0;10)$, $F(6;0;10)$, $G(6;8;10)$.

M là trung điểm AF $\left. \Rightarrow M(3,0,5) \right.$. Mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng $z = 0$.

Lấy $M'(3,0, - 5)$ đối xứng với M qua (ABCD).

Khi đó $IM + IG = IM' + IG \geq M'G$.

Dấu "=" xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng M'G và mặt phẳng $z = 0$.

$\overset{\rightarrow}{M^{\prime}G} = (3,8,15)$. Phương trình đường thẳng M'G: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 3 + 3t} \\ {y = 8t} \\ {z = - 5 + 15t} \end{array} \right.$

$\left. I \in (z = 0)\Rightarrow - 5 + 15t = 0\Rightarrow t = \dfrac{1}{3} \right.$. Tọa độ điểm $I\left( {4;\dfrac{8}{3};0} \right)$.

Khoảng cách từ I đến đường thẳng BA (trục Ox): $\left. a = \middle| y_{I} \middle| = \dfrac{8}{3} \right.$

Khoảng cách từ I đến đường thẳng BC (đường thẳng $x = 6$): $\left. b = \middle| x_{I} - 6 \middle| = \middle| 4 - 6 \middle| = 2 \right.$.

Giá trị biểu thức $P = 3a + 6b = 3.\dfrac{8}{3} + 6.2 = 20$.

Đáp án cần điền là: 20

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.