Với C là hằng số, ${\int\left( {\sin\dfrac{x}{2} + \cos\dfrac{x}{2}} \right)^{2}}dx$ bằng:

Câu hỏi số 946269:

Thông hiểu

A. $\left( {- \cos\dfrac{x}{2} + \sin\dfrac{x}{2}} \right)^{2} + C$.

B. $x + \cos x + C$.

C. $x - \cos x + C$.

D. $\dfrac{1}{3}\left( {\sin\dfrac{x}{2} + \cos\dfrac{x}{2}} \right)^{3} + C$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:946269

Phương pháp giải

Bước 1: Khai triển hằng đẳng thức đáng nhớ: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$.

Bước 2: Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để rút gọn biểu thức:

Công thức lượng giác cơ bản: $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$.

Công thức nhân đôi: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$.

Bước 3: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: ${\int\sin}xdx = - \cos x + C$.

Giải chi tiết

Trước tiên, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân để rút gọn nó:

$\left( {\sin\dfrac{x}{2} + \cos\dfrac{x}{2}} \right)^{2}$$= \sin^{2}\dfrac{x}{2} + 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} + \cos^{2}\dfrac{x}{2}$

$= \left( {\sin^{2}\dfrac{x}{2} + \cos^{2}\dfrac{x}{2}} \right) + 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2} = 1 + \sin x$

$\left. \Rightarrow{\int{(1 + \sin x)}}dx = {\int 1}dx + {\int\sin}xdx = x - \cos x + C \right.$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.