Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Một thiết bị phao quan trắc hải dương học được neo cố định trên biển. Do tác động của

Một thiết bị phao quan trắc hải dương học được neo cố định trên biển. Do tác động của thủy triều và sóng, độ cao của một cảm biến gắn trên phao so với đáy biển (tính bằng mét) thay đổi theo thời gian t (tính bằng phút) được mô hình hóa bởi hàm số:

$h(t) = 20 + 4\sin\left( \dfrac{\pi t}{3} \right) + 4\sqrt{3}\cos\left( \dfrac{\pi t}{3} \right)(t \geq 0)$

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Cảm biến đạt độ cao lớn nhất lần đầu tiên vào thời điểm nào dưới đây?

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:947141
Phương pháp giải

Thu gọn phương trình lượng giác và tìm GTLN

Giải chi tiết

Để tìm GTLN/GTNN, ta cần đưa hàm số về dạng lượng giác cơ bản.

Ta có: $4\sin\left( \dfrac{\pi t}{3} \right) + 4\sqrt{3}\cos\left( \dfrac{\pi t}{3} \right) = 8\left\lbrack {\dfrac{1}{2}\sin\left( \dfrac{\pi t}{3} \right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\left( \dfrac{\pi t}{3} \right)} \right\rbrack$

$= 8\left\lbrack {\sin\left( \dfrac{\pi t}{3} \right)\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right) + \cos\left( \dfrac{\pi t}{3} \right)\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)} \right\rbrack = 8\sin\left( {\dfrac{\pi t}{3} + \dfrac{\pi}{3}} \right)$

Vậy hàm số độ cao được viết lại thành: $h(t) = 20 + 8\sin\left( {\dfrac{\pi t}{3} + \dfrac{\pi}{3}} \right)$

Cảm biến đạt độ cao lớn nhất khi $\sin\left( {\dfrac{\pi t}{3} + \dfrac{\pi}{3}} \right) = 1$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi\Leftrightarrow t = 0,5 + 6k\quad(k \in {\mathbb{Z}}) \right.$

Vì $t \geq 0$ và cần tìm thời điểm lần đầu tiên, ta chọn $\left. k = 0\Rightarrow t = 0,5 \right.$ (phút).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Gọi $v(t)$ là vận tốc tức thời của cảm biến theo phương thẳng đứng. Sắp xếp các thời điểm $t_{1} = 1,t_{2} = 2,t_{3} = 4$ theo thứ tự vận tốc tức thời tăng dần:

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:947142
Phương pháp giải

Tính $v(t) = h'(t)$ và thay $t_{1} = 1,t_{2} = 2,t_{3} = 4$ vào hàm $v(t)$ để so sánh vận tốc

Giải chi tiết

Vận tốc tức thời là đạo hàm bậc nhất của phương trình độ cao:

$v(t) = h'(t) = 8 \cdot \dfrac{\pi}{3} \cdot \cos\left( {\dfrac{\pi t}{3} + \dfrac{\pi}{3}} \right) = \dfrac{8\pi}{3}\cos\left( \dfrac{\pi(t + 1)}{3} \right)$

Tính vận tốc tại các thời điểm:

Tại $t_{1} = 1$: $v(1) = \dfrac{8\pi}{3}\cos\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) = \dfrac{8\pi}{3}\left( {- \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{4\pi}{3}$

Tại $t_{2} = 2$: $v(2) = \dfrac{8\pi}{3}\cos(\pi) = \dfrac{8\pi}{3}( - 1) = - \dfrac{8\pi}{3}$

Tại $t_{3} = 4$: $v(4) = \dfrac{8\pi}{3}\cos\left( \dfrac{5\pi}{3} \right) = \dfrac{8\pi}{3}\left( \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{4\pi}{3}$

So sánh ta thấy: $- \dfrac{8\pi}{3} < - \dfrac{4\pi}{3} < \dfrac{4\pi}{3}$, tức là $v(2) < v(1) < v(4)$.

Thứ tự tăng dần là $t_{2},t_{1},t_{3}$.

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Khối phao quan trắc (đang nổi trên mặt nước) được thiết kế có dạng một hình trụ khép kín (có cả nắp và đáy) với thể tích V cho trước. Để chịu được áp lực nước, phần vật liệu làm hai đáy (nắp và đáy) đắt tiền hơn, có chi phí trên mỗi mét vuông gấp 2 lần chi phí vật liệu làm mặt xung quanh. Để tối ưu hóa (giảm thiểu) tổng chi phí sản xuất lớp vỏ phao, kỹ sư cần thiết kế phao sao cho tỉ lệ giữa chiều cao h và bán kính đáy R của hình trụ bằng bao nhiêu?

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:947143
Phương pháp giải

Gọi chi phí vật liệu làm mặt xung quanh là a (đồng/$m^{2}$).

Tính diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy theo a để lập hàm chi phí. Khảo sát hàm chi phí để tìm GTNN

Giải chi tiết

Gọi chi phí vật liệu làm mặt xung quanh là a (đồng/$m^{2}$).

$\Rightarrow$ Chi phí làm hai đáy là 2a (đồng/m2)

Thể tích khối trụ $\left. V = \pi R^{2}h\Rightarrow h = \dfrac{V}{\pi R^{2}} \right.$

Hàm tổng chi phí sản xuất $C$ là tổng chi phí mặt xung quanh và hai đáy: $C = a \cdot S_{xq} + 2a \cdot S_{day} = a \cdot (2\pi Rh) + 2a \cdot (2\pi R^{2}) = 2\pi a\left( {Rh + 2R^{2}} \right)$

Thay $h = \dfrac{V}{\pi R^{2}}$ vào hàm chi phí: $C(R) = 2\pi a\left( {R \cdot \dfrac{V}{\pi R^{2}} + 2R^{2}} \right) = 2\pi a\left( {\dfrac{V}{\pi R} + 2R^{2}} \right)$

Mục tiêu là tìm $R$ để hàm số $f(R) = \dfrac{V}{\pi R} + 2R^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất ($V$ không đổi).

Đạo hàm: $f'(R) = - \dfrac{V}{\pi R^{2}} + 4R$

Cho $\left. f'(R) = 0\Leftrightarrow 4R = \dfrac{V}{\pi R^{2}}\Leftrightarrow 4\pi R^{3} = V \right.$

Lại có $V = \pi R^{2}h$, thế vào phương trình trên: $\left. 4\pi R^{3} = \pi R^{2}h\Leftrightarrow 4R = h \right.$

Vậy để tối ưu chi phí, chiều cao phải gấp $4$ lần bán kính đáy ($h = 4R$).

Đáp án cần chọn là: C

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn