Trong không gian $Oxyz$,cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có$A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $D(0; 3; 0)$,

Câu hỏi số 948211:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$,cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có$A(0; 0; 0)$, $B(3; 0; 0)$, $D(0; 3; 0)$, $D'\left( {0;3; - 3} \right)$. Lấy $G$ là trọng tâm tam giác $B'BD'$.

Tọa độ điểm $C$ là $C\left( {- 3; - 3;0} \right)$.

Diện tích tam giác $A'B'C$ là 3.

Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B'G$ là $60{^\circ}$.

Thể tích khối hộp đã cho là 27(đvtt).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948211

Phương pháp giải

- Tọa độ các đỉnh của hình hộp: $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD'} $.
- Trọng tâm $G$ của tam giác B'BD': $G = \dfrac{{B' + B + D'}}{3}$.
- Diện tích tam giác: ${S_{A'B'C}} = \dfrac{1}{2}|[\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C} ]|$.
- Góc giữa hai đường thẳng: $\cos (AC,B'G) = \dfrac{{|\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'G} |}}{{|\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {B'G} |}}$.
- Thể tích hình hộp: $V = |[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ] \cdot \overrightarrow {AA'} |$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Mà $\vec{AB} = (3; 0; 0)$, $\vec{AD} = (0; 3; 0)$

$\Rightarrow \vec{AC} = (3; 3; 0) \Rightarrow C(3; 3; 0)$ nên a sai.

b) Vì tứ giác $\mathrm{ADD'A'}$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A^{\prime} D^{\prime}}$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0=-x_{A^{\prime}} \\ 3=3-y_A \\ 0=-3-z_A\end{array}\right.$$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A=0 \\ y_A=0 \\ z_{A^{\prime}}=-3\end{array}\right.$

Nên $A^{\prime}(0 ; 0 ;-3)$

Tương tự ta có $B^{\prime}(3 ; 0 ;-3)$. Vậy b sai.
c) Ta có $\overrightarrow{A C}(3 ; 3 ; 0) ; \overrightarrow{B^{\prime} G}(-1 ; 1 ; 1)$ nên $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B^{\prime} G}=0 \Rightarrow A C \perp B^{\prime} G$

Do đó góc giữa hai đường thẳng này là $90^{\circ}$
d) Nhận xét $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0 \Rightarrow A B \perp A D$, do đó đáy ABCD của khối hộp đã cho là hình chữ nhật.

Mặt khác $\overline{D D^{\prime}}=(0 ; 0 ;-3)$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{D D^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ \overrightarrow{D D^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A D}=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}D D^{\prime} \perp A B \\ D D^{\prime} \perp A D\end{array}\right.\right.$
Do đó $D D^{\prime} \perp(A B C D)$
Thể tích khối hộp là $V=A B \cdot A D \cdot D D^{\prime}=3 \cdot 3 \cdot 3=27(\mathrm{dvtt})$.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.