Trong không gian, cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng $a$. Tích vô hướng

Câu hỏi số 948388:

Thông hiểu

Trong không gian, cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng $a$. Tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{CD}$ bằng

A. 0.

B. $4a^{2}$.

C. $2a^{2}$.

D. $a^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948388

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc (chèn điểm) để đưa về các vectơ có chung đỉnh: $\overset{\rightarrow}{CD} = \overset{\rightarrow}{AD} - \overset{\rightarrow}{AC}$.

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: $\left. \overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{v} = \middle| \overset{\rightarrow}{u} \middle| . \middle| \overset{\rightarrow}{v} \middle| .\cos(\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}) \right.$.

Vận dụng tính chất của tứ diện đều: tất cả các mặt đều là tam giác đều cạnh $a$.

Giải chi tiết

Ta có: $\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{CD} = \overset{\rightarrow}{AB}.(\overset{\rightarrow}{AD} - \overset{\rightarrow}{AC}) = \overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AD} - \overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC}$

Vì ABCD là tứ diện đều nên tam giác ABD và tam giác ABC là các tam giác đều cạnh $a$

Suy ra góc $\widehat{BAD} = 60^{{^\circ}}$ và góc $\widehat{BAC} = 60^{{^\circ}}$.

$\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AD} = AB.AD.\cos(\widehat{BAD}) = a.a.\cos(60^{{^\circ}}) = \dfrac{a^{2}}{2}$

$\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{AC} = AB.AC.\cos(\widehat{BAC}) = a.a.\cos(60^{{^\circ}}) = \dfrac{a^{2}}{2}$

Thế vào biểu thức ban đầu: $\overset{\rightarrow}{AB}.\overset{\rightarrow}{CD} = \dfrac{a^{2}}{2} - \dfrac{a^{2}}{2} = 0$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.