Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Giá trị $\sin$ của góc nhị diện $\left\lbrack
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Giá trị $\sin$ của góc nhị diện $\left\lbrack {A',BD,A} \right\rbrack$
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Để xác định góc phẳng nhị diện $[P, d, Q]$: Tìm một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $d$ cắt hai nửa mặt phẳng tại hai tia. Góc giữa hai tia đó là góc phẳng nhị diện. Thực hành thường dùng cách: Từ một điểm trên mặt này kẻ vuông góc xuống mặt kia, rồi từ chân đường vuông góc kẻ vuông góc với giao tuyến.
Sử dụng định lý Pytago và các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính góc.
Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$, tức là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$ tại $O$.
Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $AA' \perp (ABCD)$, suy ra $AA' \perp BD$.
Ta có $BD \perp AO$ và $BD \perp AA'$, suy ra $BD \perp (A'AO)$. Do đó $BD \perp A'O$.
Hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABD)$ cắt nhau theo giao tuyến $BD$.
Ta có $A'O \subset (A'BD)$ với $A'O \perp BD$, và $AO \subset (ABD)$ với $AO \perp BD$.
Suy ra góc phẳng nhị diện $[A', BD, A]$ chính là góc $\widehat{A'OA}$.
Xét tam giác vuông $A'AO$ (vuông tại $A$, do $AA' \perp (ABCD)$ nên $AA' \perp AO$):
Cạnh góc vuông $AA' = a$.
Cạnh góc vuông $AO$ bằng nửa đường chéo hình vuông cạnh $a$, nên $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Theo định lý Pytago, cạnh huyền $A'O$ là:
$A'O = \sqrt{AA'^2 + AO^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Giá trị $\sin$ của góc nhị diện cần tìm là:
$\sin(\widehat{A'OA}) = \frac{AA'}{A'O} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
