Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2;2;0} \right),B\left( {2;0; - 2} \right)$

Câu hỏi số 948724:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ$Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2;2;0} \right),B\left( {2;0; - 2} \right)$ và điểm $M\left( {a,b,c} \right)$ với $a,b,c$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $a + 2b - c - 1 = 0$. Biết $MA = MB$ và góc $\widehat{AMB}$ có số đo lớn nhất. Tính $S = a + 2b + 3c$. (làm tròn đến đơn vị phần chục)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1,4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:948724

Phương pháp giải

Gọi $(P)$ là mặt phẳng có phương trình $x+2y-z-1=0$, từ giả thiết suy ra $M \in (P)$.

Từ giả thiết $MA=MB$, lập phương trình mặt phẳng trung trực $(Q)$ của đoạn thẳng $AB$. Khi đó $M$ thuộc đường thẳng $d$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Lập luận dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông để chỉ ra rằng góc $\widehat{AMB}$ lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách $IM$ nhỏ nhất.

Tìm $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.

Tính tọa độ $M$ và suy ra giá trị của biểu thức $S$.

Giải chi tiết

Tọa độ điểm $M(a,b,c)$ thỏa mãn $a+2b-c-1=0$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $x+2y-z-1=0$.

Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, ta có $I(2; 1; -1)$.

Vectơ $\overrightarrow{AB} = (0; -2; -2) = -2(0; 1; 1)$.

Vì $MA=MB$ nên $M$ nằm trên mặt phẳng trung trực $(Q)$ của đoạn thẳng $AB$. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua trung điểm $I(2; 1; -1)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (0; 1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $0(x-2) + 1(y-1) + 1(z+1) = 0 \Leftrightarrow y+z=0$.

Vì $M \in (P)$ và $M \in (Q)$ nên $M$ thuộc đường thẳng $d$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$.

Hệ phương trình xác định giao tuyến $d$:

$\begin{cases} x+2y-z-1=0 \\ y+z=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1-3y \\ z = -y \end{cases}$

Đặt $y=t$, đường thẳng $d$ có phương trình tham số: $\begin{cases} x = 1-3t \\ y = t \\ z = -t \end{cases}$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d} = (-3; 1; -1)$.

Vì $M \in d$ nên tọa độ của điểm $M$ có dạng $M(1-3t; t; -t)$.

Xét tam giác $MAB$ cân tại $M$, có $I$ là trung điểm của cạnh đáy $AB$ nên $MI \perp AB$.

Kẻ phân giác $MI$ của góc $\widehat{AMB}$, ta xét tam giác vuông $MIA$:

$\sin \left( \dfrac{\widehat{AMB}}{2} \right) = \dfrac{IA}{IM}$

Vì $A, B$ cố định nên độ dài đoạn $IA$ là hằng số.

Để góc $\widehat{AMB}$ có số đo lớn nhất thì $\sin \left( \dfrac{\widehat{AMB}}{2} \right)$ phải đạt giá trị lớn nhất (do $\dfrac{\widehat{AMB}}{2} \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi độ dài đoạn $IM$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Vì $M$ chạy trên đường thẳng $d$ nên $IM$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.

Ta có: $\overrightarrow{IM} = (1-3t-2; t-1; -t-(-1)) = (-3t-1; t-1; -t+1)$.

Để $IM \perp d$ thì $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{u_d} = 0$

$\Leftrightarrow -3(-3t-1) + 1(t-1) - 1(-t+1) = 0$

$\Leftrightarrow 9t + 3 + t - 1 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow 11t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{1}{11}$.

Suy ra tọa độ của điểm $M$ là:

$a = 1 - 3\left(-\dfrac{1}{11}\right) = \dfrac{14}{11}$

$b = -\dfrac{1}{11}$

$c = \dfrac{1}{11}$

Tính giá trị biểu thức $S$:

$S = a + 2b + 3c = \dfrac{14}{11} + 2\left(-\dfrac{1}{11}\right) + 3\left(\dfrac{1}{11}\right) = \dfrac{14 - 2 + 3}{11} = \dfrac{15}{11} \approx 1,3636$

Làm tròn đến đơn vị phần chục, ta được $S \approx 1,4$.

Đáp án cần điền là: 1,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.