Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm

Câu hỏi số 950511:

Vận dụng

Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm Parabol có chiều cao 4 m và chiều rộng chân cổng là 4 m. Ở chính giữa cổng, người ta thiết kế một lối đi hình chữ nhật cao 2 m và rộng 2 m. Phần diện tích mặt trước của cổng Parabol (sau khi đã trừ lối đi hình chữ nhật) được chia thành 8 lớp ngang, mỗi lớp cao 0,5 m để ốp tấm nhôm Alu trang trí có màu khác nhau (như bản vẽ thiết kế hình bên dưới).

Đơn giá thi công lắp tấm nhôm Alu cho cổng được tính như sau:

• Lớp dưới cùng có giá là 400 nghìn đồng / $m^{2}$.

• Càng lên cao, giá thi công mỗi lớp tiếp theo tăng thêm 50 nghìn đồng/ $m^{2}$ so với lớp ngay dưới nó.

Tính tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) ốp Alu cho phần diện tích còn lại của cổng sau khi đã loại bỏ lối đi (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:950511

Phương pháp giải

Thiết lập phương trình Parabol trong hệ tọa độ. Tính diện tích của từng lớp thứ k bằng tích phân.

Tính đơn giá cho từng lớp. Trừ diện tích lối đi ra khỏi các lớp tương ứng (lớp 1 đến lớp 4).

Tính tổng chi phí là tổng của (diện tích lớp $\times$ đơn giá lớp).

Giải chi tiết

Chọn hệ trục tọa độ sao cho đỉnh Parabol là $(0;4)$ và chân cổng tại $( - 2;0)$ và $(2;0)$.

Phương trình Parabol có dạng $y = ax^{2} + 4$

Thay điểm $(2;0)$ vào: $\left. a.2^{2} + 4 = 0\Rightarrow a = - 1 \right.$

Vậy phương trình Parabol là $\left. y = - x^{2} + 4\Rightarrow x^{2} = 4 - y \right.$

Độ rộng của vòm tại độ cao y là $2\sqrt{4 - y}$

Diện tích lớp thứ k (với độ cao từ $y_{k - 1} = 0,5(k - 1)$ đến $y_{k} = 0,5k$) là

$S_{k} = {\int_{0,5(k - 1)}^{0,5k}2}\sqrt{4 - y}dy = \left. \left( {- \dfrac{4}{3}{(4 - y)}^{\dfrac{3}{2}}} \right) \right|_{0,5(k - 1)}^{0,5k} = \dfrac{4}{3}\left\lbrack {\left( {4 - 0,5(k - 1)} \right)^{\dfrac{3}{2}} - \left( {4 - 0,5k} \right)^{\dfrac{3}{2}}} \right\rbrack$.

Đơn giá lớp thứ k là $P_{k} = 400 + (k - 1).50$ (nghìn đồng/$m^{2}$).

Lối đi cao 2 m, rộng 2 m nằm ở chính giữa, tương ứng với lớp 1, 2, 3, 4. Trong mỗi lớp này, phần diện tích lối đi chiếm là $2.0,5 = 1$ $m^{2}$.

Tổng chi phí $T = {\sum\limits_{k = 1}^{8}P_{k}}S_{k} - {\sum\limits_{k = 1}^{4}P_{k}}.1$.

Ta có:

\sum_{k=1}^{8} P_k S_k = \frac{4}{3} [400(4^{1,5} - 3,5^{1,5}) + 450(3,5^{1,5} - 3^{1,5}) + 500(3^{1,5} - 2,5^{1,5}) + 550(2,5^{1,5} - 2^{1,5})

+ 600(2^{1,5} - 1,5^{1,5}) + 650(1,5^{1,5} - 1^{1,5}) + 700(1^{1,5} - 0,5^{1,5}) + 750 \cdot 0,5^{1,5}]

= \frac{4}{3} [400 \cdot 4^{1,5} + 50 \cdot (3,5^{1,5} + 3^{1,5} + 2,5^{1,5} + 2^{1,5} + 1,5^{1,5} + 1^{1,5} + 0,5^{1,5})] \approx 5714,3998

Chi phí phần lối đi cần trừ ra là $400 + 450 + 500 + 550 = 1900$ nghìn đồng.

Tổng chi phí thực tế là $T = {\sum\limits_{k = 1}^{8}P_{k}}S_{k} - {\sum\limits_{k = 1}^{4}P_{k}}$$\approx 3814$ nghìn đồng.

Đáp án cần điền là: 3814

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.