Cho tập hợp $X = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4

Câu hỏi số 950514:

Vận dụng

Cho tập hợp $X = \left\{ 1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}$. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập X. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp S. Xác suất để chọn được một số chia hết cho 3 bằng $\dfrac{a}{b}$ (với $a,b \in {\mathbb{N}}^{*},\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:950514

Phương pháp giải

Tính tổng số phần tử của không gian mẫu $\left. n(\Omega) = \middle| S \right|$.

Phân loại các chữ số trong X theo số dư khi chia cho 3.

Sử dụng phương pháp truy hồi để tìm số các số có 4 chữ số có tổng chia hết cho 3.

Giải chi tiết

Số các số tự nhiên có 4 chữ số lập từ X là $n(\Omega) = 8^{4} = 4096$.

Trong tập $X = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right\}$, ta có:

- Các số chia cho 3 dư 0: $\left\{ 3;6 \right\}$ (có 2 số).

- Các số chia cho 3 dư 1: $\left\{ 1;4;7 \right\}$ (có 3 số).

- Các số chia cho 3 dư 2: $\left\{ 2;5;8 \right\}$ (có 3 số).

Gọi $a_{n},b_{n},c_{n}$ lần lượt là số các số có n chữ số được lập từ X mà tổng các chữ số của nó chia cho 3 dư 0, dư 1 và dư 2.

Với $n = 1$, ta có: $a_{1} = 2$, $b_{1} = 3$, $c_{1} = 3$.

Tổng số các số có n chữ số là $8^{n}$.

Do vai trò của các số dư 1 và dư 2 là như nhau (đều có 3 số trong tập X), nên ta có $b_{n} = c_{n}$.

Khi đó: $a_{n} + b_{n} + c_{n} = a_{n} + 2b_{n} = 8^{n}$. (1)

Để lập được số có n chữ số có tổng chia hết cho 3 (dư 0), ta có các trường hợp ở bước thêm chữ số thứ n:

- Số có $n - 1$ chữ số đã có tổng chia hết cho 3, thêm chữ số thứ n chia hết cho 3: có $a_{n - 1}.2$ cách.

- Số có $n - 1$ chữ số có tổng dư 1, thêm chữ số thứ n chia cho 3 dư 2: có $b_{n - 1}.3$ cách.

- Số có $n - 1$ chữ số có tổng dư 2, thêm chữ số thứ n chia cho 3 dư 1: có $c_{n - 1}.$ cách.

Suy ra: $a_{n} = 2a_{n - 1} + 3b_{n - 1} + 3c_{n - 1} = 2a_{n - 1} + 3(b_{n - 1} + c_{n - 1})$.

Từ (1) ta có $b_{n - 1} + c_{n - 1} = 8^{n - 1} - a_{n - 1}$.

Suy ra $a_{n} = 2a_{n - 1} + 3(8^{n - 1} - a_{n - 1}) = 3 \cdot 8^{n - 1} - a_{n - 1}$.

- Với $n = 2$: $a_{2} = 3 \cdot 8^{1} - a_{1} = 24 - 2 = 22$.

- Với $n = 3$: $a_{3} = 3 \cdot 8^{2} - a_{2} = 192 - 22 = 170$.

- Với $n = 4$: $a_{4} = 3 \cdot 8^{3} - a_{3} = 3 \cdot 512 - 170 = 1536 - 170 = 1366$.

Vậy số các số chia hết cho 3 là 1366.

Xác suất cần tìm là $P = \dfrac{1366}{4096} = \dfrac{683}{2048}$.

Suy ra $a = 683,b = 2048$.

Giá trị $T = a + b = 683 + 2048 = 2731$.

Đáp án cần điền là: 2731

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.