Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA\bot(ABCD)$.a) Chứng minh rằng $BC\bot(SAB)$.b)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA\bot(ABCD)$.
a) Chứng minh rằng $BC\bot(SAB)$.
b) Cho $SA = AB = a$, $AD = a\sqrt{3}$. Gọi $\varphi$ là số đo góc phẳng của nhị diện [B, SC, D]. Tính $\cos\varphi$
Quảng cáo
a) Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
b) Tính cosin góc phẳng nhị diện:
- Xác định góc phẳng nhị diện.
- Tính độ dài các cạnh của tam giác chứa góc $\varphi$ dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Sử dụng định lý cosin trong tam giác để tìm $\cos\varphi$.
a) Chứng minh $BC\bot(SAB)$:
Ta có $BC\bot AB$, mặt khác $BC\bot SA$ ($SA\bot(ABCD)$ và $BC \subset (ABCD)$).
Mà $AB \cap SA = A$ và $AB,SA \subset (SAB)$.
Từ đó suy ra $BC\bot(SAB)$.
b) Hạ $AH\bot SB,AI\bot SC,AK\bot SD$.
Vì $BC\bot(SAB)$ nên $BC\bot AH$.
Kết hợp $AH\bot SB$, ta có $\left. AH\bot(SBC)\Rightarrow AH\bot SC \right.$.
Vì $CD\bot(SAD)$ nên $CD\bot AK$.
Kết hợp $AK\bot SD$, ta có $\left. AK\bot(SCD)\Rightarrow AK\bot SC \right.$.
Từ $SC\bot AH,SC\bot AK$ và $SC\bot AI$, suy ra ba điểm H, I, K cùng nằm trên mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
Khi đó: $SC\bot IH,SC\bot IK$.
Vậy góc phẳng của nhị diện [B, SC, D] là $\widehat{HIK} = \varphi$.
Xét các tam giác vuông, ta tính được các đoạn thẳng:
$IH = \dfrac{a\sqrt{30}}{10},IK = \dfrac{a\sqrt{5}}{10},HK = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIK:
$\cos\varphi = \dfrac{IH^{2} + IK^{2} - HK^{2}}{2 \cdot IH \cdot IK} = \dfrac{\dfrac{30a^{2}}{100} + \dfrac{5a^{2}}{100} - \dfrac{a^{2}}{2}}{2 \cdot \dfrac{a\sqrt{30}}{10} \cdot \dfrac{a\sqrt{5}}{10}} = \dfrac{- \sqrt{6}}{4}$.
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
