Tìm số tự nhiên $n$ biết : $\dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \ldots + \dfrac{1}{n.(n + 2)} =

Câu hỏi số 950762:

Vận dụng

Tìm số tự nhiên $n$ biết : $\dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \ldots + \dfrac{1}{n.(n + 2)} = \dfrac{1}{8}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:950762

Phương pháp giải

Sử dụng công thức biến đổi của dãy số có quy luật mẫu số là tích của hai số cách nhau $k$ đơn vị:

$\dfrac{k}{a \cdot (a + k)} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a + k}$

Từ đó suy ra: $\dfrac{1}{a \cdot (a + k)} = \dfrac{1}{k} \cdot (\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a + k})$

Áp dụng vào bài toán với $k = 2$, ta biến đổi các hạng tử ở vế trái về dạng hiệu của hai phân số để rút gọn, sau đó giải phương trình tìm $n$.

Giải chi tiết

Vế trái của đẳng thức là:

$A = \dfrac{1}{3.5} + \dfrac{1}{5.7} + \ldots + \dfrac{1}{n.(n + 2)}$

$A = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{2}{3.5} + \dfrac{2}{5.7} + \ldots + \dfrac{2}{n.(n + 2)}} \right)$

$A = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2}} \right)$

$A = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n + 2}} \right)$

Theo đề bài ta có:

$\dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n + 2}} \right) = \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{8}:\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{1}{n + 2} = \dfrac{1}{12}$

Suy ra: $n + 2 = 12$

$n = 12 - 2$

$n = 10$

Vậy $n = 10$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link