Cho $A = \dfrac{8}{9} + \dfrac{24}{25} + \dfrac{48}{49} + \ldots + \dfrac{10200}{10201}$. Chứng minh rằng: $A >

Câu hỏi số 950864:

Vận dụng

Cho $A = \dfrac{8}{9} + \dfrac{24}{25} + \dfrac{48}{49} + \ldots + \dfrac{10200}{10201}$. Chứng minh rằng: $A > 49,75$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:950864

Phương pháp giải

Sử dụng quy luật của dãy số để đưa các phân số về dạng $1 - \dfrac{1}{{(2k + 1)}^{2}}$.

Tính tổng các số 1 để tách riêng phần nguyên của biểu thức $A$.

Áp dụng bất đẳng thức làm trội $\dfrac{1}{{(2k + 1)}^{2}} < \dfrac{1}{(2k)(2k + 2)} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2k} - \dfrac{1}{2k + 2})$ để đánh giá giới hạn của phần phân số còn lại.

Giải chi tiết

$A = \dfrac{8}{9} + \dfrac{24}{25} + \dfrac{48}{49} + \ldots + \dfrac{10200}{10201}$

$A = \left( {1 - \dfrac{1}{3^{2}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{5^{2}}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{7^{2}}} \right) + \ldots + \left( {1 - \dfrac{1}{101^{2}}} \right)$

$A = (1 + 1 + 1 + \ldots + 1) - \left( {\dfrac{1}{3^{2}} + \dfrac{1}{5^{2}} + \dfrac{1}{7^{2}} + \ldots + \dfrac{1}{101^{2}}} \right)$

Đặt $B = \dfrac{1}{3^{2}} + \dfrac{1}{5^{2}} + \dfrac{1}{7^{2}} + \ldots + \dfrac{1}{101^{2}}$

$\left. \Rightarrow A = 50 - B \right.$

Ta có: $a^{2} > a^{2} - 1 = a^{2} - a + a - 1 = (a - 1)(a + 1)$

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{a^{2}} < \dfrac{1}{(a - 1)(a + 1)}\quad(a > 1) \right.$

Áp dụng, ta có:

$B < \dfrac{1}{2 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 6} + \dfrac{1}{6 \cdot 8} + \ldots + \dfrac{1}{100 \cdot 102}$

$B < \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{102}} \right) < \dfrac{1}{4}$

$\left. \Rightarrow 50 - B > 50 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{199}{4} = 49,75 \right.$

$\left. \Rightarrow A > 49,75 \right.$

Vậy $A > 49,75$

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link