Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do lớp 11A phát động, bạn Minh làm một hình chóp tứ

Câu hỏi số 951571:

Vận dụng

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do lớp 11A phát động, bạn Minh làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm (tham khảo hình vẽ).

Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB, BFC, CGD, DHA và sau đó gò các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:951571

Phương pháp giải

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông đáy EFGH của khối chóp.

Dựa vào các tính chất hình học của mảnh tôn và định lý Pitago để biểu diễn chiều cao AO của khối chóp theo biến x.

Thiết lập công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều: $V(x) = \dfrac{1}{3}x^{2} \cdot AO$.

Sử dụng bất đẳng thức Côsi để đánh giá, xác định giá trị lớn nhất của thể tích.

Giải chi tiết

Đặt cạnh hình vuông EFGH là $x(x > 0)$.

$OM = \dfrac{x}{2};CM = OC - OM = 15\sqrt{2} - \dfrac{x}{2}(0 < x < 30\sqrt{2})$

Khi gò các tam giác thành hình chóp tứ giác đều $A \cdot EFGH$ (Hinh 2) thì $C \equiv A$ nên ta có

$AM = CM = 15\sqrt{2} - \dfrac{x}{2}$ $\left. \Rightarrow AO = \sqrt{AM^{2} - OM^{2}} = \sqrt{450 - 15\sqrt{2}x} \right.$

Thể tích khối chóp $A \cdot EFGH$ là: $V_{A \cdot EFGH} = \dfrac{1}{3}S_{EFGH} \cdot AO = \dfrac{1}{3}x^{2} \cdot \sqrt{450 - 15\sqrt{2}x}$

Ta có

$V_{A.EFGH} = \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt{(450 - 15\sqrt{2}x) \cdot x^{4}}$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{8}{225} \cdot \sqrt{(450 - 15\sqrt{2}x) \cdot \dfrac{15\sqrt{2}}{4}x \cdot \dfrac{15\sqrt{2}}{4}x \cdot \dfrac{15\sqrt{2}}{4}x \cdot \dfrac{15\sqrt{2}}{4}x}$

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

$V_{A.EFGH} \leq \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{8}{225} \cdot \sqrt{\left( \dfrac{450}{5} \right)^{5}} = 288\sqrt{10}\left( {~\text{cm}^{3}} \right)$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = 12\sqrt{2}(~\text{cm})$

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp đều được tạo thành là $288\sqrt{10}\left( {~\text{cm}^{3}} \right)$

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.