Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):2x - y - z + 1 = 0$ và điểm $A(2;4;0)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là hình

Câu hỏi số 953319:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):2x - y - z + 1 = 0$ và điểm $A(2;4;0)$ . Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ . Tính $a + b + c$ .

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953319

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Vectơ chỉ phương của $\Delta$ chính là vectơ pháp tuyến của (P).

Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P). Điểm H chính là hình chiếu cần tìm.

Giải chi tiết

Mặt phẳng $(P):2x - y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = (2; - 1; - 1)$.

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A(2;4;0)$ và vuông góc với $(P)$.

Vì $\Delta\bot(P)$ nên $\Delta$ nhận $\overset{\rightarrow}{n} = (2; - 1; - 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = 4 - t} \\ {z = - t} \end{array} \right.$.

Vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ nên $H = \Delta \cap (P)$.

Suy ra tọa độ điểm $H$ thỏa mãn hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\ {y = 4 - t} \\ {z = - t} \\ {2x - y - z + 1 = 0} \end{array} \right.$

Thay x, y, z vào phương trình mặt phẳng $(P)$, ta được:

$2(2 + 2t) - (4 - t) - ( - t) + 1 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 6t + 1 = 0\Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{6} \right.$.

Suy ra tọa độ điểm $H$ là $H\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{25}{6};\dfrac{1}{6}} \right)$.

Suy ra $a = \dfrac{5}{3},b = \dfrac{25}{6},c = \dfrac{1}{6}$.

Khi đó: $a + b + c = \dfrac{5}{3} + \dfrac{25}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{36}{6} = 6$.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.