Nồng độ thuốc C (mg/ml) trong máu của một bệnh nhân sau t giờ tiêm vào tĩnh mạch được xác

Câu hỏi số 953747:

Vận dụng

Nồng độ thuốc C (mg/ml) trong máu của một bệnh nhân sau t giờ tiêm vào tĩnh mạch được xác định bởi công thức $C(t) = \dfrac{at}{t^{2} + 4}$, với a là hằng số dương. Đạo hàm của $C(t)$ được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm $t$. Biết rằng nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất là 0,5 mg/ml. Một bác sĩ muốn tính tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm $t = 4$ giờ để quyết định liều tiêm tiếp theo. Tính giá trị tuyệt đối của tốc độ này (đơn vị: mg/ml/h).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953747

Phương pháp giải

Tính đạo hàm $C'(t)$ của hàm số $C(t)$.

Tìm điểm t mà tại đó hàm số $C(t)$ đạt giá trị lớn nhất (bằng cách giải phương trình $C'(t) = 0$).

Sử dụng giả thiết giá trị lớn nhất bằng 0,5 để tìm hằng số a.

Thay $a$ và $t = 4$ vào biểu thức $C'(t)$ để tính tốc độ thay đổi tức thời, sau đó lấy giá trị tuyệt đối.

Giải chi tiết

Xét hàm số $C(t) = \dfrac{at}{t^{2} + 4}$ với $t > 0$ và $a > 0$.

Ta có đạo hàm: $C'(t) = \dfrac{a(t^{2} + 4) - at(2t)}{{(t^{2} + 4)}^{2}} = \dfrac{at^{2} + 4a - 2at^{2}}{{(t^{2} + 4)}^{2}} = \dfrac{a(4 - t^{2})}{{(t^{2} + 4)}^{2}}$

Cho $\left. C'(t) = 0\Leftrightarrow 4 - t^{2} = 0\Leftrightarrow t^{2} = 4 \right.$.

Vì $t > 0$ nên ta nhận $t = 2$.

Ta thấy qua $t = 2$, đạo hàm $C'(t)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số $C(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = 2$.

Giá trị lớn nhất của nồng độ thuốc là: $C(2) = \dfrac{a.2}{2^{2} + 4} = \dfrac{2a}{8} = \dfrac{a}{4}$

Theo đề bài, nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất là 0,5 mg/ml nên ta có: $\left. \dfrac{a}{4} = 0,5\Leftrightarrow a = 2 \right.$.

Khi đó, biểu thức đạo hàm trở thành: $C'(t) = \dfrac{2(4 - t^{2})}{{(t^{2} + 4)}^{2}}$

Tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm $t = 4$ giờ là:

$C'(4) = \dfrac{2(4 - 4^{2})}{{(4^{2} + 4)}^{2}} = \dfrac{2(4 - 16)}{{(16 + 4)}^{2}} = \dfrac{- 24}{400} = - 0,06$ (mg/ml/h)

Giá trị tuyệt đối của tốc độ thay đổi này là $\left| {- 0,06} \right| = 0,06$.

Đáp án cần điền là: 0,06

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.