Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Tam giác SAB cân tại S, có diện tích bằng 6

Câu hỏi số 953746:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Tam giác SAB cân tại S, có diện tích bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính côsin của góc nhị diện [S; AC; D] (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:953746

Phương pháp giải

Sử dụng định lý về hai mặt phẳng vuông góc để xác định đường cao của hình chóp.

Xác định góc phẳng của góc nhị diện bằng cách tìm giao tuyến và dựng các đường thẳng vuông góc với giao tuyến.

Phân tích vị trí của các điểm đối với giao tuyến để xác định góc nhị diện là góc nhọn hay góc tù.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính giá trị côsin.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB cân tại S nên $SH\bot AB$.

Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) theo giao tuyến AB, và $SH \subset (SAB)$, $SH\bot AB$ nên $SH\bot(ABCD)$.

Diện tích tam giác SAB là $\left. S_{SAB} = \dfrac{1}{2}SH \cdot AB\Rightarrow 6 = \dfrac{1}{2}SH \cdot 4\Rightarrow SH = 3 \right.$.

Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ $HK\bot AC$ tại $K$.

Ta có $\left. SH\bot(ABCD)\Rightarrow SH\bot AC \right.$.

Do $AC\bot HK$ và $AC\bot SH$ nên $AC\bot(SHK)$, suy ra $AC\bot SK$.

$\left. \Rightarrow\left\lbrack {S,AC,B} \right\rbrack = \left( {SK,HK} \right) = \angle HKS \right.$

Gọi $\alpha$ là số đo góc nhị diện $\left\lbrack {S,AC,D} \right\rbrack$, ta có $\alpha = 180^{{^\circ}} - \widehat{SKH}$.

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Vì H là trung điểm của AB nên $S_{AHC} = \dfrac{1}{2}S_{ABC} = 4$.

Độ dài đường chéo $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 4\sqrt{2}$.

Mặt khác, $\left. S_{AHC} = \dfrac{1}{2}HK \cdot AC\Rightarrow 4 = \dfrac{1}{2}HK \cdot 4\sqrt{2}\Rightarrow HK = \sqrt{2} \right.$.

Xét tam giác SHK vuông tại H có $SK = \sqrt{SH^{2} + HK^{2}} = \sqrt{3^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{11}$.

Suy ra $\cos\widehat{SKH} = \dfrac{HK}{SK} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{22}}{11}$.

$\left. \Rightarrow\cos\alpha = \cos(180^{{^\circ}} - \widehat{SKH}) = - \cos\widehat{SKH} = - \dfrac{\sqrt{22}}{11} \approx - 0,4 \right.$.

Đáp án cần điền là: -0,4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.