Một nhà địa chất học đang ở địa điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B

Câu hỏi số 954548:

Vận dụng

Một nhà địa chất học đang ở địa điểm A trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm B (cũng ở trên sa mạc) và cách A một khoảng bằng 70 km. Trong sa mạc, xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc 30 km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm B sau 2 giờ, vì vậy nếu anh ta đi thẳng từ A đến B sẽ không thể đến đúng giờ được. Rất may, có một con đường nhựa song song với đường nối A và B và cách AB một đoạn 10 km (tham khảo hình vẽ). Trên đường nhựa đó, xe nhà địa chất có thể di chuyển với vận tốc 50 km/h. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ A đến B là bao nhiêu phút?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 116

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:954548

Phương pháp giải

Thiết lập hàm số biểu diễn tổng thời gian di chuyển theo vị trí điểm rẽ vào đường nhựa.

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm thời gian đó.

Giải chi tiết

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên đường nhựa.

Khi đó $HK = AB = 70$km, $AH = BK = 10$km.

Để thời gian di chuyển ngắn nhất, nhà địa chất sẽ đi từ A đến một điểm C trên đường nhựa, đi tiếp trên đường nhựa đến điểm D, sau đó đi từ D về B.

Đặt $HC = x$ ($0 \leq x \leq 35$), quãng đường trên sa mạc: $AC = DB = \sqrt{x^{2} + 100}$ (km)

Quãng đường trên đường nhựa $CD = 70 - 2x$ (km).

Tổng thời gian di chuyển là $T(x) = \dfrac{2\sqrt{x^{2} + 100}}{30} + \dfrac{70 - 2x}{50} = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 100}}{15} + \dfrac{35 - x}{25}$ (giờ).

Ta có

$T'(x) = \dfrac{x}{15\sqrt{x^{2} + 100}} - \dfrac{1}{25} = 0$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{x^{2} + 100}\Leftrightarrow 25x^{2} = 9x^{2} + 900 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 16x^{2} = 900\Leftrightarrow x = 7,5 \right. \end{array}$

Thời gian di chuyển ngắn nhất là:

$T(7,5) = \dfrac{\sqrt{7,5^{2} + 100}}{15} + \dfrac{35 - 7,5}{25} = \dfrac{29}{15}$ (giờ) $= 116$ phút.

Đáp án cần điền là: 116

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.