Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 20 cm người ta xẻ

Câu hỏi số 954551:

Vận dụng

Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 20 cm người ta xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu đen như hình vẽ dưới đây. Diện tích tiết diện ngang lớn nhất là bao nhiêu $cm^{2}$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 267

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:954551

Phương pháp giải

Gọi x là chiều rộng của miếng phụ

Tính chiều dài miếng phụ theo x

Vì diện tích hình vuông không đổi nên diện tích tiết diện lớn nhất khi diện tích 1 miếng phụ lớn nhất

Lập hàm S tính diện tích miếng phụ theo x và khảo sát tìm GTLN từ đó tính diện tích tiết diện.

Giải chi tiết

Gọi x là chiều rộng của miếng phụ

Vì hình vuông MNPQ có cạnh $MN = \dfrac{MP}{\sqrt{2}} = \dfrac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}(\text{cm})$ nên diện tích không thay đổi

Ta có $2x = AB - MQ = AB - 10\sqrt{2}\ \ < BD - 10\sqrt{2}\ \ = 20 - 10\sqrt{2}$.

$\left. \Rightarrow 0 < x < 10 - 5\sqrt{2} \right.$.

Vậy để diện tích tiết diện lớn nhất khi diện tích của 1 miếng phụ phải lớn nhất

Ta có $AD = \sqrt{BD^{2} - AB^{2}} = \sqrt{20^{2} - \left( {2x + MQ} \right)^{2}} = \sqrt{20^{2} - \left( {2x + 10\sqrt{2}} \right)^{2}}$

Khi đó diện tích 1 miếng phụ là

$S = x.AD = x\sqrt{400 - \left( {2x + 10\sqrt{2}} \right)^{2}} = x\sqrt{400 - \left( {2x + 10\sqrt{2}} \right)^{2}} = x\sqrt{200 - 4x^{2} - 40\sqrt{2}x}$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow S' = \sqrt{200 - 4x^{2} - 40\sqrt{2}x} + x.\dfrac{- 8x - 40\sqrt{2}}{2\sqrt{200 - 4x^{2} - 40\sqrt{2}x}} \right. \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{200 - 4x^{2} - 40\sqrt{2}x - 4x^{2} - 20\sqrt{2}x}{\sqrt{200 - 4x^{2} - 40\sqrt{2}x}}} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{- 8x^{2} - 60\sqrt{2}x + 200}{\sqrt{200 - 4x^{2} - 40\sqrt{2}x}}} \end{array}$

$\left. \Rightarrow S'(x) = 0\Leftrightarrow - 8x^{2} - 60\sqrt{2}x + 200 = 0\Leftrightarrow x = \dfrac{5\sqrt{34} - 15\sqrt{2}}{4} \approx 1,98 \right.$

$\left. \Rightarrow S_{\max} = S\left( {1,98} \right) \approx 16,8 \right.$

Vậy diện tích tiết diện lớn nhất là $S_{1} = 4S + \left( {10\sqrt{2}} \right)^{2} \approx 267$ cm²

Đáp án cần điền là: 267

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.