Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc ĐGNL sư phạm Hà Nội 18-19/4/2026 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sqrt 3 \cos n - \sin n\)

Câu hỏi số 955235:
Vận dụng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sqrt 3 \cos n - \sin n\)

Đúng Sai
a) Dãy số $u_n$ là dãy số bị chặn.
b) Dãy số $(u_n)$ là một dãy số tuần hoàn.
c) Không tồn tại số hạng nào của dãy số có giá trị bằng $2$.

Đáp án đúng là: Đ; S; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:955235
Giải chi tiết

a) \(\begin{array}{l}{u_n} = \sqrt 3 \cos n - \sin n\\\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos n - \dfrac{1}{2}\sin n} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\left( {\sin \dfrac{\pi }{3}\cos n - \cos \dfrac{\pi }{3}\sin n} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - n} \right)\end{array}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l} - 1 \le \sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - n} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow  - 2 \le 2\sin \left( {\dfrac{\pi }{3} - n} \right) \le 2\\ \Leftrightarrow  - 2 \le {u_n} \le 2\end{array}\)

Vậy dãy số bị chặn dưới tại -2 và bị chặn trên tại 2.

Vậy mệnh đề a đúng.

b) Giả sử dãy số $(u_n)$ tuần hoàn. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương $T$ sao cho $u_{n+T} = u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Điều này tương đương với: $\cos\left(n + T + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(n + \frac{\pi}{6}\right)$ với mọi $n$.

Hàm cosin tuần hoàn với chu kì $2\pi$, do đó ta phải có $T = k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}^*$).

Tuy nhiên, vì $\pi$ là một số vô tỉ nên không tồn tại số nguyên dương $T$ nào thỏa mãn $T = k2\pi$.

Vậy dãy số này không tuần hoàn nên mệnh đề b sai

c) Giả sử có số hạng của dãy bằng $2$, tức là tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $u_n = 2$.

Ta có phương trình:

$2\cos\left(n + \frac{\pi}{6}\right) = 2 \Leftrightarrow \cos\left(n + \frac{\pi}{6}\right) = 1$$
$$\Leftrightarrow n + \frac{\pi}{6} = k2\pi \Leftrightarrow n = k2\pi - \frac{\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Vì $k \in \mathbb{Z}$ và $\pi$ là số vô tỉ nên vế phải $k2\pi - \frac{\pi}{6}$ luôn là một số vô tỉ. Trong khi đó, vế trái $n$ là một số nguyên dương. Điều này là vô lí.

Do phương trình vô nghiệm trên tập $\mathbb{N}^*$ nên không có số hạng nào của dãy số nhận giá trị bằng $2$.

Vậy mệnh đề c đúng

Đáp án cần chọn là: Đ; S; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn